戴德金--连续性和无理数--我自己做的中文翻译第5页

$尽管这种非算术的比较，一般而言，有助于对数的快速扩展，是被允许的（不$
适用于复数）；但是这并不足以成为把外部概念引入算术，即数字科学的基础。负数和小数是由新的创造
产生的，其运算规则同样适用于正整数。所以我们必须进全力仅仅通过有理数来创造出无理数。剩下的唯
一问题就是如何去做。
$上述关于直线和有理数域R的比较，让我们认识到了有理数存在缝隙，而直线是完备的，$
无缝隙，或者说是连续的。那么这个连续性包含什么呢？所有问题都依赖于这个问题的答案，只有得到这
个答案，我们才能拥有对连续系统进行科学研究的基础。仅对连续的最小部分做出含混不清的分析，显然
是徒劳的；问题是如何精确描述连续性的特征，使之成为后续正确推导的基础。我对这个问题做了长时间
的徒劳的思考，但是最终我找到了答案。这个发现或许是仁者见仁：大多数人会觉得这个答案平淡无奇。
其内容如下。前面我们注意到，直线上的每个点都能产生一个分割，把直线分成两部分，使得左侧部分的
每个点都位于右侧部分的每个点的左侧。我从这个现象的反面，在下面的原则中，找到了连续性的本质：
\quad\quad“如果一条直线被分割成两类，使得第一类的每个点位于第二类的每个点的左侧，那么，有且仅有一
个点产生这个分割。”
$我认为大多数人会立刻同意上面这个原则的正确性；大多数人会感到失望，这样一$
句平淡无奇的结论，就揭示出了连续性的秘密。对此，我会说我非常高兴看到大家发现这个原则如此显
然，而且符合自己对直线的认知，因为我无论如何无法证明这个原则的正确性，其他人也没法证明。这是
一个公理，我们用它赋予直线以连续性，用它来发现直线的连续性。如果直线上真的有空隙，那么这些空
不一定连续；即使这些空隙不连续，它的很多特性依然存在。