2021-08-23-戴德金-连续性和无理数-2页-我自己做的中文翻译

$一二三四五六七八九零一二三四五六七八九零一二三四五六七八九零一二三四五六七八九$
$(接上页)我在匆忙的浏览中发现，康托尔在第二部分给出的公理，除了表现形式以外，内$
$容跟我的论文第三部分指出的连续性的本质是一致的。但是像我这样把实数域想象成自身$
$就是完备，并且对实数做了纯抽象的高等级定义，这样做到底有什么意义？我不知道。$
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$第一部分有理数的性质$
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$即使读者已经具备了相关的有理数的知识，但我还是认为值得对一些重要事实给予$
$注意，但是不做讨论，这样就能从一开始就揭示出我们后续所采用的观点。我认为整个算$
$术是必然的，至少是自然而然的一系列简单运算的结果，这个简单操作就是计数，一系列$
$无限正整数的计数，每个数字都通过紧邻它的前一个数字产生。这个最简单的操作，就是$
$通过已经产生的个体，来产生后续的新个体。这个数字链条，成为人类极其有用的工具。$
$它为人类呈现了通过引入算术的四则运算而产生的一个取之不尽的各种神奇定律所构成的$
$财富。加法，是把前面所说的产生后续正整数的多个+1的重复作合并简化为一个单一$
$操作;并且由加法产生了乘法。尽管加法和乘法总是可以执行的，但是与之相对的减法和除$
$法却是有限制的。不管是为了处理某种情况，不管是通过类比、对比、直觉，或者是经验，$
$都可能导致某种与之相关的新产物的诞生。有一点可以肯定，正是这些间接操作的执行受$
$到的限制，成为进行人类新创造的真正动机。于是，小数，负数，应运而生；在全体有理$
$数系统，人类已经获得了一个可以无止境得到更高级进步的工具。我用R来表示这个系统$
$（全体有理数构成的系统），这个系统首先具有完整性和自包容性，这些特性是我在另一$
$个地方提到的“数体（numberbody）”中提出的，这个特性是指四则运算可以在R中任意$
$两个个体之间进行，其计算结果，仍然在系统R内，除零操作除外。$
$对于我们眼前的目标，系统R还有一个非常重要的特性：系统R构成了一个布局良好的$
$一维域，向两侧无限伸展。我对几何思想的借用，充分说明了这意味着什么。也正因为如$
$此，我需要给出纯数学特性，以避免出现算术必须借助算术以外的思想的现象。$