既然加法已经定义,那么其他的基础运算就可以定义了。即,减、乘、除、乘方、根,对数,
这样我们就到了对加减乘除等这些基本运算的真正证明(如,(√2)⋅(√3)=(√6)),据我所知,这
些证明此前尚未建立。更复杂的运算定义会长的令人恐惧,虽然这些定义都是其固有的,但
是大部分是可以避免的。与之相关的一个非常有用的概念是区间,即,一个有理数组成的系
统A具有下面的特点,如果a和a′在A中,那么所有位于a和a′之间的有理数,都包含在A内。包
含全部有理数的系统R和任何分划的两类都是区间。假设存在有理数a1<A含全部有理数的系统R和任何分划的两类都是区间。假设存在有理数a_{1}<A含全部有理数的系统R和任何分划的两类都是区间。假设存在有理数a1<A
内的所有数,存在有理数a2>A内的所有数,那么A称为闭区间。可知,存内的所有数,存在有理数a_{2}>A内的所有数,那么A称为闭区间。可知,存内的所有数,存在有理数a2>A内的所有数,那么A称为闭区间。可知,存
在无穷多这样的a1和a2;整个域R被分为三部分,A1,A,A2,于是有了两在无穷多这样的a_{1}和a_{2};整个域R被分为三部分,A_{1},A,A_{2},于是有了两在无穷多这样的a1和a2;整个域R被分为三部分,A1,A,A2,于是有了两
个数字,a1,a2,既可以是有理数,也可以是无理数,称为区间的下限和上个数字,a_{1},a_{2},既可以是有理数,也可以是无理数,称为区间的下限和上个数字,a1,a2,既可以是有理数,也可以是无理数,称为区间的下限和上
限。下限a1由产生第一类A1的分割产生,上限由产生第二类A2的分割,称限。下限a_{1}由产生第一类A_{1}的分割产生,上限由产生第二类A_{2}的分割,称限。下限a1由产生第一类A1的分割产生,上限由产生第二类A2的分割,称
每个位于a1和a2之间的数为位于区间A内。如果所有A内的数,都是B内的数,每个位于a_{1}和a_{2}之间的数为位于区间A内。如果所有A内的数,都是B内的数,每个位于a1和a2之间的数为位于区间A内。如果所有A内的数,都是B内的数,
称A为B的一部分。称A为B的一部分。称A为B的一部分。
当我们试图把有理数的大量算术定理(如乘法结合律(a+b)c=ac+bc)\quad\quad 当我们试图把有理数的大量算术定理(如乘法结合律(a+b)c=ac+bc)当我们试图把有理数的大量算术定理(如乘法结合律(a+b)c=ac+bc)
应用于任意实数时,那些冗长的考虑就会冒出来。但是,实际并非如此。很容易看出,这些
操作都简化为某种连续性的体现。上述讨论可以归纳为下面的通用定理:
“若数字λ是α,β,γ等数字运算的结果,且λ位于区间L内,那么可以得到A,\quad\quad “若数字\lambda 是\alpha,\beta,\gamma等数字运算的结果,且\lambda位于区间L内,那么可以得到A,“若数字λ是α,β,γ等数字运算的结果,且λ位于区间L内,那么可以得到A,
B,C等区间,分别包含数字α,β,γ等数字,这样,这些数字的运算,转为区B,C等区间,分别包含数字\alpha,\beta,\gamma等数字,这样,这些数字的运算,转为区B,C等区间,分别包含数字α,β,γ等数字,这样,这些数字的运算,转为区
间的运算,运算结果是区间L中的一个数字”。如此笨拙的过程,让我们不得不寻找一个方法简
化这些表达式。于是,无极变幅,函数,极限值,这些概念被引入。即使是最简单的算术运算
最好也建立在这些概念之上,这里不再深入讨论。