戴德金--连续性和无理数--我自己做的中文翻译第8页

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本文探讨了两个分割中第一类元素A1和B1的比较，分为四类情况：完全相同、一个数不同导致非本质区别、多个数不同及非有理数情形。通过这些分析，确定了α和β的关系，揭示了大小关系的唯一两种可能性。

$\quad\quad\quad\quad$ -----原文第8页------
$第一类中。如果此时，我们对两个分割中的第一类A_{1}和B_{1}进行比较，会有如下结果$
$1.他们完全相同。即，每个包含于A1的数，也包含于B1,且每一个属于B1的数，\quad1. 他们完全相同。即，每个包含于A_{1}的数，也包含于B_{1},且每一个属于B_{1}的数，$
$也包含在A_{1}中。在这种情况下，A_{2}与B_{2}必然相同。因此，这两个分划(cut)，(A_{1},A_{2})和$
$(B1,B2)完美相同，我们用符号表示为α=β或β=α。(B_{1},B_{2})完美相同，我们用符号表示为\alpha=\beta或\beta=\alpha。$
$但是，如果A1与B1不同，那么在一个类，例如，A1\quad\quad 但是，如果A_{1}与B_{1}不同，那么在一个类，例如，A_{1}$ 中，存在一个数 $a_{1}$ ’= $b_{2}$ '没有包
$含在B_{1}中，则自然位于B_{2}中；于是，所有包含在B_{1}中的数b_{1}当然小于这个数$
$a_{1}$ ‘= $b_{2}$ ’，因此,所有 $B_{1}中的数b_{1}都包含于A_{1}中。$

$2.如果A1中只有一个数a1′是B1所没有的，则A1中所有其他数字a1也被包含于B1中，且\quad2.如果A_{1}中只有一个数a_{1}'是B_{1}所没有的，则A_{1}中所有其他数字a_{1}也被包含于B_{1}中，且$
$有a1小于a1′,即，a1′是A1中的最大的一个数，于是这个分划(cut)(A1,A2)由有理数\quad\quad有a_{1}小于a_{1}',即，a_{1}'是A_{1}中的最大的一个数，于是这个分划(cut)(A_{1},A_{2})由有理数$
$\quad\quad$ a= $a_{1}$ ’= $b_{2}'产生。再看(B_{1},B{2})。我们已经知道B_{1}中的所有数b_{1}也都包含在A_{1}$
$\quad\quad$ 中，且小于 $a_{1}'$ = $b_{2}',b_{2}'，该数包含于B_{2}中；B_{2}中包含的其他数字b_{2}必然大于b_{2}'$ ，
$\quad\quad$ 否则 $b_{2}$ 就会小于 $a_{1}'，从而包含于A_{1}和B_{1}；这样b_{2}'就是B_{2}中的最小数。于是，$
$\quad\quad$ 分划(B_{1},B_{2})也是由同一个有理数 $β\beta$ = $b_{2}$ ’= $a_{1}$ ’= $α\alpha$ 产生。这两个分划仅
$\quad\quad$ 仅是非本质的不同；

$3.如果在A1中至少有两个数a1′=b2′,a1′′\quad 3.如果在A_{1}中至少有两个数a_{1}'=b_{2}',a_{1}''$ = $b_{2}$ ’’,不在 $B_{1}$ 中，那么就有无数个这样的数存在。
$因为在这两数之间存在无穷多的数，都在A1中，却都不在B1中。这种情况下，\quad\quad因为在这两数之间存在无穷多的数，都在A_{1}中，却都不在B_{1}中。这种情况下，$
$我们说对应于两个本质上不同的分割(A1,2)与(B1,B2)的两个数α和β是不同的，\quad\quad 我们说对应于两个本质上不同的分割(A_{1},{2})与(B_{1},B_{2})的两个数\alpha 和\beta 是不同的，$
$\quad\quad$ 并且更进一步，我们说 $α\alpha$ > $β\beta$ ，或者说 $β\beta$ < $α\alpha$ ,需要注意的是，这个定义与前面当
$α和β\quad\quad \alpha和\beta$ 都是有理数时的定义完全一致。

剩下的可能出现的情况如下

$4.如果在B1\quad4.如果在B_{1}$ 中存在一个且只有一个 $b_{1}'$ = $a_{1}'$ ， $不属于A_{1},那么(A_{1},A_{2})与(B_{1},B_{2})仅仅是$
$\quad\quad$ 非本质性区别，并且都是由同一个有理数 $α=a2′=b1′=β产生；\alpha=a_{2}'=b_{1}'=\beta产生；$

$5.但是，如果B1中至少有两个数是A1中没有的，那么β>α,或α<β;\quad 5. 但是，如果B_{1}中至少有两个数是A_{1}中没有的，那么\beta>\alpha,或\alpha<\beta;$

$\quad$ 上述讨论遍历了全部情况，可知，对于两个不同的数，其中一个或者大于另一个,或者小于另一
$个，只有这两种情况出现，不存在第三种可能。这一点在指定α和β的大小关系时个，只有这两种情况出现，不存在第三种可能。这一点在指定\alpha和\beta的大小关系时$
用到过，但是直到现在才给予了证明。在进行上述研究时，必须加倍小心，以防把其他领域的
概念，在根本不允许的情况下，照搬到其他领域中。