戴德金--连续性和无理数--我自己做的中文翻译第10页

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这篇内容介绍了戴德金分割如何将实数域和有理数域分成两部分，并通过证明展示了任何两个实数之间存在无限多个有理数。文章还探讨了实数的加法操作，特别是当加数中有一个是无理数时的情况，展示了加法的连续性。

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$\quad\quad\quad ------原文第10页-----$
注意：下面的证明中用IR表示实数域，以区别于表示有理数域的R。
$\quad 证明：在把实数域IR分割成两个部分\triangle _{1}和\triangle_{2}的同时，包含全体有理数$
$的系统R也被分成了两部分A_{1}和A_{2}，A_{1}包含了所有\triangle_{1}中的有理数，A_{2}包$
$含了其余的全部有理数，即\triangle_{2}中的全体有理数。假设\alpha是产生(A_{1},A_{2})的数，$
$若\beta是一个异于\alpha的数，那么\alpha和\beta中间存在无穷多有理数c。此时：$
$\quad\quad (1)\quad 若\beta<\alpha,则有：$
$\quad\quad\quad\quad c<\alpha，这样c属于A_{1}，自然也属于\triangle_{1},与此同时，由于\beta<c,所以\beta也$
$\quad\quad\quad\quad 属于\triangle_{1}；$
$\quad\quad (2)\quad 若\beta>\alpha,则有：$
$\quad\quad\quad\quad c>\alpha，这样c属于A_{2}，自然也属于\triangle_{2},与此同时，由于c<\beta,所以\beta也$
$\quad\quad\quad\quad 属于\triangle_{2}；$
$这样，每个异于\alpha的数\beta或者属于类\triangle_{1}或者属于类\triangle_{2},取决于\beta$ > $\alpha$ 还是
$\beta$ < $\alpha$ ;于是 $\alpha或者是\triangle_{1}中的最大值，或者是\triangle_{2}中的最小值，即\alpha 是一个且$
$是唯一一个产生分割(\triangle_{1},\triangle_{2})的数。证毕。$
$\quad\quad 四\quad实数的四则运算$
$\quad\quad 将实数范围的任意操作缩小到有理数范围时，只需用\alpha和\beta 生成的$
$类(A_{1},A_{2})和(B_{1},B_{2})定义分割(C_{1},C_{2})即可，该分割对应于这个操作的结果\gamma。$
$本文只讨论最简单的加法操作的情形（这里的(A_{1},A_{2})，(B_{1},B_{2})均为$
有理数分割）。
$\quad\quad 设c是任意有理数，如果在A_{1}中存在a_{1}，B_{1}中存在b_{1},有c\leq a_{1}+b_{1}，$
$那么c属于C_{1}类，其他有理数归于C_{2}。这样一个对全体有理数进行的分割;
$C_{1},C_{2}，显然构成了一个分划（cut）,因为每一个C_{1}中的数c_{1}，都小于C_{2}中$
$的每个数c_{2}。若\alpha和\beta都是有理数，那么包含于C_{1}中的每个数c_{1}都\leq \alpha+\beta,$
$这是因为a_{1}\leq \alpha,b_{1}\leq \beta，故有a_{1}+b_{1}\leq \alpha+\beta；更近一步，假设C_{2}中包含$
$c_{2},有c_{2}<\alpha+\beta,于是有\alpha+\beta=c_{2}+p,这里p是正有理数，那么有$
$\quad\quad\quad\quad\quad c_{2}=(\alpha-\frac{1}{2}p)+(\beta-\frac{1}{2}p)$
$与c_{2}定义矛盾，因为\alpha-\frac{1}{2}p属于A_{1}，\beta-\frac{1}{2}p属于B_{1}。由此可见，$
$C_{2}中的每个数c_{2}都有c_{2}\geq \alpha+\beta。由此可见，在这种情况下，分划（C_{1}，C_{2}）$
$由\alpha + \beta的和定义。我们把实数\alpha+\beta的和理解$
$为产生分割(C_{1},C_{2})的数字\gamma,就不会违反有理数中的加法定义。$
$进一步考虑，如果\alpha和\beta中只有一个有理数，例如，\alpha是有理数，\beta是无理数，$
$易见，不管\alpha属于A_{1}还是A_{2}，和依然是\gamma=\alpha+\beta，没有任何不同。$