14、向量空间的关键概念与定理

向量空间的关键概念与定理

1. 向量的分量、方向余弦和投影

1.1 向量的分量

向量的分量是其在定义的 $n$ 元组表示中每个元素的值。例如，在实四维空间中，向量 $\vec{u} = [1\ 5\ 3\ 7]$，其第一、二、三、四个分量分别为 1、5、3 和 7。

$n$ 维向量空间最简单的基是由 $n$ 个单位向量组成的集合，每个单位向量只有一个非零分量，且这些非零元素的位置对于每个基向量都不同，不过这个基不是唯一的。在四维空间中，规范的四个单位正交基向量分别为：
$\hat{e}_1 = [1\ 0\ 0\ 0]$
$\hat{e}_2 = [0\ 1\ 0\ 0]$
$\hat{e}_3 = [0\ 0\ 1\ 0]$
$\hat{e}_4 = [0\ 0\ 0\ 1]$

向量 $\vec{u}$ 可以写成基向量的线性组合：$\vec{u} = u_1\hat{e}_1 + u_2\hat{e}_2 + u_3\hat{e}_3 + u_4\hat{e}_4$。基向量被选为正交归一的，即每个基向量长度为 1，且两两相互正交。由此可得重要结论：向量的第 $m$ 个分量可通过该向量与相应单位向量的点积得到，即 $u_m = \vec{u} \cdot \hat{e}_m$。

1.2 方向余弦

方向余弦定义为：$\cos(\gamma_m) = \frac{\vec{u} \cdot \hat{e}_m}{\vert\vec{u}\vert}$。在二维或三维空间中，这些量的几何解释是向量 $\vec{u}$ 与 $x$、$y$ 和 $z$ 轴夹角的余弦。