66、经济中多项式方程所有解的计算

经济中多项式方程所有解的计算

在经济领域，求解多项式方程的所有解是一个重要的问题。本文将深入探讨如何使用格罗布纳基（Gröbner bases）来解决多项式方程组，包括算法原理、计算机代数系统的应用、根的计数、形状引理的条件以及参数化格罗布纳基等内容。

格罗布纳基算法原理

为了证明格罗布纳基算法的有效性，首先需要证明在每次迭代中，由有限集 $G$ 中所有多项式生成的理想 $\langle G \rangle$ 是理想 $I$ 的子集。若算法终止，根据相关定理，所得的 $G$ 必定是格罗布纳基。

算法的终止性证明稍显复杂。在每次迭代中，由于 $G’ \subset G$，所以有 $\langle LT(G’) \rangle \subset \langle LT(G) \rangle$。若 $G’ \neq G$，则该包含关系是严格的。根据升链引理，最终包含关系不能再严格，即 $G’ = G$，算法经过有限次迭代后必然停止。

升链引理 ：设 $I_1 \subset I_2 \subset \cdots$ 是 $K[x_1, \cdots, x_n]$ 中的一个理想升链，则存在一个 $N \geq 1$，使得 $I_N = I_{N + 1} = I_{N + 2} = \cdots$。

证明该引理时，考虑集合 $I = \cup_{i = 1}^{\infty}I_i$，这个集合是一个理想。根据希尔伯特基定理，理想 $I$ 必定是有限生成的，即存在 $f_1, \cdots, f_k$ 使得 $I = \langle f_1, \cdots, f_k \rangle$，且每个生成元必定包含在某个 $I_