66、量子计算中的误差分析、算法设计与非线性微分方程求解

量子计算中的误差分析、算法设计与非线性微分方程求解

1. 误差分析

在量子计算中，误差分析是确保算法准确性和可靠性的关键环节。当选取 (t_0 = O(\kappa / \varepsilon)) 时，会在最终状态引入不超过 (\varepsilon) 的误差。误差分析的主要难点在于后选择步骤，此步骤仅选取与良好寄存器相连的状态部分，这可能会放大整体状态中的误差。

不过，我们也可能对非后选择状态感兴趣，例如通过对 (|b\rangle) 应用一次 (U_{invert}) 得到的状态，可用于估计 (|b\rangle) 在 (A) 的病态分量中的权重。令人惊讶的是，这两种情况下的误差上限均为 (O(\kappa / t_0))。

为简化分析，我们忽略误差项 (\varepsilon_H) 和 (\varepsilon_{\Psi})，因为它们相对容易处理，而相位估计带来的误差才是主要的。定义 (U) 为 (U_{invert}) 的一个版本，其中除相位估计外的所有操作都是精确的；(\tilde{U}) 为 (U_{invert}) 的理想版本，即所有步骤都无误差。基于此假设，有以下不等式成立：
1. 不进行后选择时，误差满足 (||U - \tilde{U}|| \leq O(\kappa / t_0))。
2. 若在后选择时，标志寄存器处于由 ({|well\rangle, |ill\rangle}) 张成的空间，将归一化的理想状态定义为 (|\tilde{x}\rangle)，实际状态定义为 (|x\rangle)，则 (|||x\rangle - |\tilde{x}\rangle|| \leq O(\kappa / t_0))。
3. 若 (