5、二次无约束二进制优化：量子退火在离散投资组合优化中的应用

二次无约束二进制优化：量子退火在离散投资组合优化中的应用

1. 二次无约束二进制优化（QUBO）概述

QUBO 是量子退火的一个典型用例，其原因主要有以下几点：
- 量子退火器基于二进制自旋变量运行，二进制决策变量（由逻辑量子比特表示）与自旋变量之间的映射简单直接。
- 二次优化问题的目标函数仅包含线性和二次项，这极大地简化了模型，并使其能够嵌入现有的量子退火硬件中。
- 无约束优化意味着虽然 QUBO 允许指定必须满足的条件，但这些并非严格约束。违反约束会在 QUBO 目标函数中通过额外项进行惩罚，但仍有可能找到违反指定约束的解。

这些特性使得 QUBO 问题能够在量子退火器上求解。许多重要的 NP 难组合优化问题都存在 QUBO 形式，如离散投资组合优化问题、图划分、作业车间调度、二进制整数线性规划等。

2. QUBO 原理

2.1 QUBO 定义

QUBO 表示一类优化问题，其中 N 个二进制变量 (q_1, \ldots, q_N) 的二次函数需要在其所有可能的 (2^N) 种赋值中进行最小化。要最小化的函数称为成本函数，可表示为：
[
L_{QUBO}(q) = \sum_{i=1}^{N} a_i q_i + \sum_{i=1}^{N} \sum_{j=i+1}^{N} b_{ij} q_i q_j
]
其中 (q := (q_1, \ldots, q_N) \in {0, 1}^N) 表示 N 个二进制决策变量的赋值。

2.2 QUBO 到 Ising 模型的转换

QUBO 问题可以轻松转换为可在量子退火