9、混合模型与期望最大化算法详解

混合模型与期望最大化算法详解

在数据挖掘、模式识别、机器学习和统计分析等领域，我们常常需要处理复杂的概率分布和数据聚类问题。混合模型和期望最大化（EM）算法为此提供了强大的工具。本文将深入探讨这些概念，从基础的K-means聚类开始，逐步介绍高斯混合模型、EM算法及其在不同场景中的应用。

1. K-means聚类

K-means聚类是一种用于将数据点划分为K个簇的非概率技术。假设我们有一个包含N个观测值的数据集，每个观测值是一个D维的欧几里得变量。我们的目标是将这些数据点划分为K个簇，使得每个数据点到其所属簇中心的距离平方和最小。

为了实现这一目标，我们引入了一组D维向量µk，代表每个簇的中心。同时，我们为每个数据点xn定义了一组二进制指示变量rnk，用于表示该数据点所属的簇。目标函数J定义为：
[J = \sum_{n=1}^{N} \sum_{k=1}^{K} r_{nk} | x_n - \mu_k |^2]

K-means算法通过迭代的方式来最小化目标函数J，每次迭代包括两个步骤：
1. E步骤 ：固定µk，选择使得(| x_n - \mu_k |^2)最小的k，将rnk设为1，其余设为0。即：
[r_{nk} =
\begin{cases}
1, & \text{if } k = \arg \min_j | x_n - \mu_j |^2 \
0, & \text{otherwise}
\end{cases}
]
2. M步骤 ：固定rnk，对目标函数J关于µk求导并令其