7、稀疏核机器：支持向量机与相关向量机的深入解析

稀疏核机器：支持向量机与相关向量机的深入解析

在机器学习领域，核方法是一类强大的工具，可用于解决分类、回归等多种问题。然而，传统基于非线性核的学习算法存在计算复杂度高的问题，尤其是在处理大规模数据时。为了解决这一问题，稀疏核机器应运而生，它能够在保证模型性能的同时，显著降低计算成本。本文将深入探讨两种重要的稀疏核机器：支持向量机（SVM）和相关向量机（RVM）。

1. 支持向量机（SVM）概述

支持向量机是一种广泛应用于分类、回归和新奇性检测的决策机器。它的核心思想是通过寻找最大间隔超平面来实现分类，从而在保证分类准确性的同时，提高模型的泛化能力。

1.1 最大间隔分类器

1.1.1 线性可分情况

考虑一个二分类问题，使用线性模型 $y(x) = w^T\varphi(x) + b$ 进行分类，其中 $\varphi(x)$ 是固定的特征空间变换，$w$ 和 $b$ 是模型参数。假设训练数据集在特征空间中是线性可分的，即存在一组参数 $w$ 和 $b$，使得对于所有训练数据点 $x_n$，当 $t_n = +1$ 时，$y(x_n) > 0$；当 $t_n = -1$ 时，$y(x_n) < 0$，即 $t_ny(x_n) > 0$。

为了找到最优的分类超平面，支持向量机引入了间隔的概念。间隔定义为决策边界与最近的数据点之间的垂直距离，目标是最大化这个间隔。通过一系列的数学推导，可以将最大化间隔的问题转化为一个二次规划问题：
$$
\arg \min_{w,b} \frac{1}{2}|w|^2
$$
$$
\text{subject to }