27、快速除法算法与ECC密码认证方案的分析

快速除法算法与ECC密码认证方案的分析

1. 快速除法算法

在计算多项式的逆元时，涉及到了几种不同的算法，下面将详细介绍这些算法及其相关性质。

1.1 相关定理与算法

• 定理2 ：设 $R$ 是一个含单位元的交换环，$f, g_0, g_1, \cdots \in R[x]$，其中 $f(0) = 1$，$g_0 = 1$，且 $g_{i + 1} \equiv 2g_i - fg_i^2 \mod x^{2^{i + 1}}$ 对所有的 $i$ 成立，那么对于所有 $i \geq 0$，有 $fg_i \equiv 1 \mod x^{2^i}$。
• 算法1：使用牛顿迭代求逆
  • 输入 ：$f \in R[x]$ 且 $f(0) = 1$，$l \in N$。
  • 输出 ：$g \in R[x]$ 满足 $fg \equiv 1 \mod x^l$。
  • 步骤 ：
    1. $g_0 \leftarrow 1$，$r \leftarrow \lceil \log l \rceil$。
    2. 对于 $i = 1, \cdots, r$，执行 $g_i \leftarrow (2g_{i - 1} - fg_{i - 1}^2) \text{ rem } x^{2^i}$。
    3. 返回 $g_r$。 <