12、聚类与图论的理论和实践

聚类与图论的理论和实践

1. 聚类相关的理论基础

在聚类的理论研究中，涉及到诸多不等式和函数性质的探讨。
- 函数凸性与不等式 ：对于函数 (f(x) = x^{\frac{r}{p}})，当 (r > 0 > p) 时，(f^{\prime\prime}(x) = \frac{r}{p}(\frac{r}{p} - 1)x^{\frac{r}{p} - 2} \geq 0)，函数为凸函数；当 (0 > r > p) 时，(0 < \frac{r}{p} < 1)，函数为凹函数，根据 Jensen 不等式有 ([\sum_{i = 1}^{n}w_ix_i^p]^{\frac{r}{p}} \geq \sum_{i = 1}^{n}w_ix_i^r)，又因为 (\frac{1}{r} < 0)，可得 ([\sum_{i = 1}^{n}w_ix_i^p]^{\frac{1}{p}} \leq [\sum_{i = 1}^{n}w_ix_i^r]^{\frac{1}{r}})。
- 集合凸性与指示函数 ：集合 (S \subseteq R^n) 为凸集的充要条件是其指示函数 (I_S) 为凸函数。若 (I_S) 是凸函数，对于任意 (x, y \in S)，有 (I_S(tx + (1 - t)y) \leq tI_S(x) + (1 - t)I_S(y))，反之亦然。
- 中点凸性 ：若 (f) 是区间 (I) 上的凸函数，根据 Jensen 不等式，对于 (x, y \in I)，有 (f(\frac{x + y}{2}) \leq