10、向量点积与叉积：从二维到三维的深入探索

向量点积与叉积：从二维到三维的深入探索

1. 向量点积：衡量向量对齐程度

向量点积是一个非常重要的概念，它能让我们在不使用三角函数的情况下，判断两个向量是否垂直。具体来说，如果两个向量的夹角小于 90°，它们的点积为正；如果夹角大于 90°，点积为负；当夹角为 90°时，点积为零。

1.1 计算点积

给定两个向量的坐标，计算点积的公式很简单：将对应坐标相乘，然后将这些乘积相加。例如，对于向量 (1, 2, –1) 和 (3, 0, 3)，x 坐标的乘积是 3，y 坐标的乘积是 0，z 坐标的乘积是 –3，它们的和为 3 + 0 + (–3) = 0，所以这两个向量的点积为零，这表明它们是垂直的。

在 Python 中，可以编写一个点积函数来处理任意具有相同坐标数量的向量对：

def dot(u,v):
    return sum([coord1 * coord2 for coord1,coord2 in zip(u,v)])

这个函数使用了 Python 的 zip 函数来配对相应的坐标，然后在列表推导式中相乘每一对坐标，并将结果列表相加。

1.2 点积示例

• 不同轴上的向量 ：两个位于不同轴上的向量的点积为零，因为它们是垂直的。例如：

>>> dot((1,0),(0,2))
0
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