50、聚类问题中的参数化、近似算法及相关问题研究

聚类问题中的参数化、近似算法及相关问题研究

1. 三角形划分问题

三角形划分问题是一个重要的研究点。它属于NP完全问题，这是因为对于一个图G，非确定性算法只需猜测q个不相交的顶点三元组，并在多项式时间内验证它们是否在图G中构成三角形。例如，对于集合(X = {x, y, z, u, v, w})，其集合族(T = {T_1, T_2, T_3})，其中(T_1 = {x, y, z})，(T_2 = {u, v, w})，(T_3 = {x, v, w})，({T_1, T_2})是X的一个精确覆盖，对应的图中，其三角形集合就是该图的一个三角形划分。

2. 参数化问题

参数化问题是一个集合(P \subseteq A^*× N)，其中A是一个字母表。如果存在一个可计算函数(f : N \to N)，使得能够在(f(k) · |x|^{O(1)})时间内确定((x, k))是否属于P，则称该参数化问题P是固定参数可处理的，这类问题的集合记为FPT。

数据约简规则在参数化问题中很关键。设P是一个参数化问题，数据约简规则是一个函数(\varphi : A^ × N \to A^ × N)，它能在(|x|)和k的多项式时间内计算，并且满足((x, k) \in P)当且仅当((x’, k’) \in P)，其中((x’, k’) = f(x, k))，(|x’| \leq |x|)，且(k’ \leq k)。

以顶点覆盖问题为例，其一个实例由图(G = (V, E))和整数(j)（(j \leq |V|)）组成，该问题是NP完全问题。针对此问题有三个数据约简规则：
- 规则一