44、聚类、特殊函数与线性代数综合解析

聚类、特殊函数与线性代数综合解析

1. 聚类相关理论

在聚类理论中，存在这样的推导：设 (Z \in R^{k_0×d}) 和 (T \in R^{k_1×d})，则 (W’AW = (W_0Z + W_1T)’A(W_0Z + W_1T))。经过一系列展开可得 (W’AW = Z’W’_0AW_0Z + Z’W’_0AX_1T + T’W’_1Aw_0Z + T’W’_1AW_1T)。又因为 (W_0) 是 (NullSp(A + B) = NullSp(A) \cap NullSp(B)) 的基，所以 (W’AW = (W_1T)’A(W_1T))。

2. 特殊函数

2.1 欧拉函数

2.1.1 欧拉函数的定义

欧拉函数 (B) 和 (\Gamma) 分别由以下积分定义：
- (B(a, b) = \int_{0}^{1} x^{a - 1}(1 - x)^{b - 1} dx)，这是第一类欧拉积分。
- (\Gamma(a) = \int_{0}^{\infty} x^{a - 1}e^{-x} dx)，这是第二类欧拉积分。
这里假设 (a) 和 (b) 为正数，以确保积分收敛。

2.1.2 (B) 函数的性质

• 对称性 ：将 (x) 替换为 (1 - x)，可得 (B(a, b) = - \int_{1}^{0} (1 - x)^{a - 1}(x)^{b - 1} dx = B(b, a))，说明 (B) 函数是对称的。
• 递推公式 ：对