12、杜宾斯汽车模型最优控制的数值实验

杜宾斯汽车模型最优控制的数值实验

1. 引言

在平面机械的最优控制研究中，庞特里亚金最大值原理（PMP）是关键的数学工具。通过PMP可得到一阶常微分方程组（SODE1），其解即为最优控制问题的解。然而，在某些点上，最优解会失去最优性，例如有两条最优轨迹指向的点，这些点可通过对称性的不动点来确定。而且，系统通常难以解析求解，因此需要采用数值方法。

杜宾斯汽车模型是控制理论中最简单的模型之一，它可看作一个具有四个轮子的刚体，不能侧向滑动，但能在平面上前后移动并改变方向，其配置空间是三维光滑流形$C = {q = (X, θ)|(x, y) ∈R^2, θ ∈S^1} = R^2 × S^1$。本文旨在研究是否能通过数值方法找到更多指向对称不动点的最优解，以及只有一个指向非对称不动点的最优解。

2. 机构的微分运动学

根据非滑动条件，可得到Pfaffian约束方程：$(\dot{x}, \dot{y}) · \overrightarrow{n} = -\dot{x} \sin θ + \dot{y} \cos θ = 0$。该方程等价于：
$\dot{x} = u_1 \cos θ$
$\dot{y} = u_1 \sin θ$
$\dot{θ} = u_2$

其中$u_1, u_2 ∈R$为控制参数。由此可得到两个向量场：
$V_1 = \cos θ\partial_x + \sin θ\partial_y$
$V_2 = \partial_θ$

进而得到一阶控制系统：$\dot{q} = u_1V_1 + u_2V_2$

3. 系统的李代数