[Codeforces 285E]Positions in Permutations（容斥+DP）

最新推荐文章于 2019-08-29 22:37:35 发布

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#容斥原理 #DP

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本文详细解析洛谷RemoteJudge上一道经典题目——Codeforces285E，探讨如何求解长度为n的排列中，完美数恰好为m的排列数量。采用容斥原理和动态规划方法，实现O(n^2)复杂度的算法。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Address

洛谷RemoteJudge
Codeforces 285E

Meaning

称一个 $1\sim n$ 的排列 $P$ 的完美数为：有多少个 $i$ 满足 $P_i-i|=1$ 。
求有多少个长度为 $n$ 的完美数恰好为 $m$ 的排列。

Solution

考虑容斥来做。具体地，设 $s (k)$ 表示在 $[1, n]$ 中选出 $k$ 个数，让它们中的每一个数 $i$ 都满足 $P_i-i|=1$ ，剩下的 $n - k$ 个数随便排的方案数。
那么答案为：
$\sum_{i=m}^n(-1)^{i-m}C_i^ms(i)$
考虑通过 dp 求 $s$ 。
$f [i] [j] [0 / 1] [0 / 1] [0 / 1]$ 表示在 $[1, i]$ 内选出 $j$ 个数放进 $P$ 里面（满足与自己的位置差的绝对值为 $1$ ），最后三维表示 $P_{i-1}$ ， $P_i$ ， $P_{i+1}$ 三个位置是否已经有数填入。特别地，如果位置不存在则这一维只能为 $0$ 。
边界 $f [0] [0] [0] [0] [0] = 1$ 。
转移（1）： $i$ 不被放进 $P$ 内（作为剩下来的数随便排）。
$f[i+1][j][op_2][op_3][0]+=f[i][j][op_1][op_2][op_3]$
转移（2）：如果 $i > 0$ 且 $i$ 位置还没有数则可以把 $i + 1$ 放在 $P_i$ 。
$f[i+1][j+1][1][op_3][0]+=f[i][j][op_1][0][op_3]$
转移（3）：如果 $i < n - 1$ 且 $i + 2$ 位置还没有数则可以把 $i + 1$ 放在 $P_{i+2}$ 。
$f[i+1][j+1][op_2][op_3][1]+=f[i][j][op_1][op_2][op_3]$
如果在 $n$ 个数中选出 $k$ 个数使得其中每个数 $i$ 都满足 $P_i-i|=1$ ，则在计算 $s (k)$ 时剩下 $n - k$ 个随便排。
$s(k)=(n-k)!\sum_{op_1\in\{0,1\}}\sum_{op_2\in\{0,1\}}f[n][k][op_1][op_2][0]$
复杂度 $O(n^2)$ 。

Code

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define For(i, a, b) for (i = a; i <= b; i++)
using namespace std;

const int N = 1005, ZZQ = 1e9 + 7;
int n, m, fac[N], C[N][N], f[N][N][2][2][2], ans;

int main()
{
	int i, j, op1, op2, op3;
	cin >> n >> m;
	fac[0] = 1;
	For (i, 1, n) fac[i] = 1ll * fac[i - 1] * i % ZZQ;
	For (i, 0, n) C[i][0] = 1;
	For (i, 1, n) For (j, 1, i)
		C[i][j] = (C[i - 1][j] + C[i - 1][j - 1]) % ZZQ;
	f[0][0][0][0][0] = 1;
	For (i, 0, n - 1) For (j, 0, i)
	{
		For (op1, 0, 1) For (op2, 0, 1) For (op3, 0, 1)
			(f[i + 1][j][op2][op3][0] += f[i][j][op1][op2][op3]) %= ZZQ;
		if (i > 0) For (op1, 0, 1) For (op3, 0, 1)
			(f[i + 1][j + 1][1][op3][0] += f[i][j][op1][0][op3]) %= ZZQ;
		if (i < n - 1) For (op1, 0, 1) For (op2, 0, 1) For (op3, 0, 1)
			(f[i + 1][j + 1][op2][op3][1] += f[i][j][op1][op2][op3]) %= ZZQ;
	}
	For (i, m, n)
	{
		int tmp = 0;
		For (op1, 0, 1) For (op2, 0, 1)
			tmp = (tmp + f[n][i][op1][op2][0]) % ZZQ;
		int delta = 1ll * tmp * fac[n - i] % ZZQ * C[i][m] % ZZQ;
		if (i - m & 1) ans = (ans - delta + ZZQ) % ZZQ;
		else ans = (ans + delta) % ZZQ;
	}
	cout << ans << endl;
	return 0;
}