63、多项式时间内的最大匹配和路径匹配计数

多项式时间内的最大匹配和路径匹配计数

1. 团宽度介绍

团宽度是在无向、非空的带标签图上通过特定构造方法引入的概念。设 $G_i$ 是图 $G$ 中标签为 $i$ 的顶点所构成的子图。
- 单例图 ：单例图 $S_i$ 是只有一个标签为 $i$ 的顶点且没有边的带标签图。
- 构造操作 ：
- 重命名 ：$\rho_{i \to j}(G)$ 是将图 $G$ 中所有标签 $i$ 替换为标签 $j$ 后的图。
- 不相交并 ：$(V_1, E_1) \oplus (V_2, E_2) = (V_1 \cup V_2, E_1 \cup E_2)$。
- 边创建 ：$\eta_{i,j}((V, E)) = (V, E \cup {(v_1, v_2) | v_1 \in G_i, v_2 \in G_j})$。

团宽度不超过 $k$ 的图类是包含所有单例图 $S_i$，并且在重命名 $\rho_{i \to j}$、不相交并 $\oplus$ 和边创建 $\eta_{i,j}$（$1 \leq i, j \leq k$）操作下封闭的最小图类。图 $G$ 的团宽度记为 $cwd(G)$，是使用单例图以及重命名、不相交并和边创建操作构造 $G$ 所需的最少标签数。

对于无标签图 $G$，可将所有顶点标记为标签 1 来定义其团宽度，这是最优标记，因为任何标记都可重命名为单色标记。注意，阶为 $n$ 的图的团宽度至多为 $n$。

一些