14、最短路径与匹配流问题的变体及算法详解

最短路径与匹配流问题的变体及算法详解

1. 最短路径问题的经典变体

最短路径问题在图论中至关重要，下面介绍一些经典的变体。

1.1 无权图

在无权图中，广度优先搜索（BFS）足以确定最短路径。因为在无权图中，每条边的权重相同，BFS 按照层次遍历的方式，能保证最先到达目标节点的路径就是最短路径。

1.2 有向无环图（DAG）

可以使用拓扑排序（参考相关内容），让顶点按合适的顺序被处理。要计算从源点到顶点 v 的距离，我们可以利用之前计算出的 v 的所有前驱顶点的距离，并应用简单的动态规划递归。

应用场景 ：比如我们想规划一条从家到工作地点的路线，先上升以锻炼身体，最后下降以放松。我们可以将城市建模为一个图，顶点表示具有海拔高度的路口，边表示具有长度的道路。利用上述算法，我们可以计算出从源点仅通过上升弧到每个顶点 v 的距离，同时计算出从顶点 v 仅通过下降弧到目标点的距离。最终答案是所有顶点 v 上这两个距离之和的最小值。

1.3 最长路径

对于有向无环图（DAG），上述提到的动态规划方法可以高效地计算最长路径。对于一般图，问题是找到从源点到目标点且每个顶点最多经过一次的最长路径，这是一个 NP 难问题，目前还没有多项式时间的算法。如果顶点数量较少（大约二十个左右），我们可以使用顶点子集 S 上的动态规划方法，计算 D[S][v]，即仅使用 S 中的中间顶点从源点到 v 的最长路径长度。对于每个非空的 S，有如下关系：
[D[S][v] = \max_{u\in S} D[S \setminus u][u] + w[u][