52、计数大小为 k 的匹配是 W[1] 难问题

计数大小为 k 的匹配是 #W[1] 难问题

1. 引言

在图论中，匹配是一个重要的概念。对于一个有 n 个顶点的无向图 G = (V, E)，匹配 M 是一组不相交的边的集合，即 M ⊆ E。当 |M| = k 时，M 被称为 k - 匹配；当 k = n/2 时，k - 匹配通常被称为完美匹配。

在匹配计数方面，有两个经典问题被广泛研究：
- #PerfMatch：计算输入图 G 中所有完美匹配的数量。该问题随着复杂度类 #P 的定义一同出现，并且是最早被证明为 #P - 完全的问题之一。
- #Match：计算输入图 G 中所有匹配的数量。该问题也被证明是 #P - 难的。

后续研究还确定了一些图类，在这些图类上 #PerfMatch 和 #Match 仍然是 #P - 难的，同时也发现了一些可处理的图类。例如，#Match 在平面 3 - 正则图上是困难的，而 #PerfMatch 在平面图上存在多项式时间算法。

近年来，人们开始将计数问题作为参数化问题来研究。在参数化计数问题中，输入 x 会附带一个额外的参数 k。如果一个参数化计数问题可以在时间 f(k)|x|^O(1) 内解决（其中 f 是一个可计算函数），则称该问题关于参数 k 是固定参数可处理的（fpt）。#W[1] 类和 #W[1] - 难的概念也被提出，它们架起了经典计数复杂度和参数化复杂度理论之间的桥梁。

在图的参数化计数问题中，参数 k 通常用于衡量输入图的复杂程度或要计数的结构的复杂程度。例如，树宽、团宽或亏格等都是与输入图相关的典型参数。对于一个树宽为 tw(G) 的图 G 和一个单值二阶逻辑公式 φ(X)，计算满足 G |= φ(X) 的集