50、动态代数化的空间节省：图匹配计数问题的算法研究

动态代数化的空间节省：图匹配计数问题的算法研究

在图论和算法设计领域，解决图匹配计数问题一直是一个重要且具有挑战性的课题。本文将围绕一些关键命题、算法及其应用展开，深入探讨如何通过动态代数化实现空间节省，以及不同算法在计数完美匹配问题上的表现。

1. 关键命题与定理

• 命题 1 ：对于任意连通图 $G$，有 $hm(G) = td(G)$。证明过程如下：
  • 对于图 $G$ 的任意树分解，先将其转换为修改后的良好树分解 $T$。通过删除除遗忘节点外的所有节点来收缩 $T$，得到收缩树 $T_f$。对于 $T$ 中遗忘图 $G$ 中顶点 $x$ 的每个遗忘节点，$T_f$ 中对应的顶点为 $x$，且有 $G ⊆ clos(T_f)$。因此，$td(G) ≤ h$，其中 $h$ 是 $T$ 中从根到叶的任何路径上遗忘节点的最大数量。
  • 对于任意满足 $G ⊆ clos(T)$ 的树 $T$，构造图 $G$ 的对应树分解 $T$，初始化为 $T$，且与 $T$ 中顶点 $x$ 关联的每个包都包含该顶点本身。对于 $T$ 中的每个顶点 $x$，还将 $x$ 在 $T$ 中的所有祖先放入与 $x$ 关联的包中，可验证这是图 $G$ 的有效树分解，所以 $td(T) ≥ hm(G)$。
• 定理 2 ：给定任意图 $G = (V, E)$ 及其树分解 $T$，设 $f$ 是由电路 $C$ 在 $(Z[2^V]; ⊕′, ∗)$ 上计算的函数，常数为单元素集。假设对于整数 $m$ 有 $f[V] < m$，则可以在时间