7、图论中的匹配计数与顶点不相交路径问题

图论中的匹配计数与顶点不相交路径问题

1. 带容量房屋分配问题中的流行匹配计数

1.1 计数难度证明

在带容量房屋分配问题（CHA）中，计算流行匹配的数量是一个具有挑战性的问题，其被证明是 #P 难的。证明方法是将二分图中匹配数量的计算问题归约到 CHA 中流行匹配数量的计算问题。

具体步骤如下：
1. 设 (G = (A ∪ B, E)) 是一个二分图匹配实例，目标是计算 (G) 中的匹配数量。
2. 从 (G) 构建一个 CHA 实例 (I)，使得 (I) 的流行匹配数量与 (G) 的匹配数量相同。
3. 构建过程中，先将 (G) 的所有边从 (A) 指向 (B)，得到有向图 (G’)。
4. 基于 (G’) 构建切换图 (S)：
- 保留 (G’) 的所有顶点和边，并为每条边分配权重 -1。
- 对于 (A) 中的每个顶点 (u)，添加一个副本 (u’)，并添加从 (u’) 到 (u) 的有向边，权重为 +1，新顶点集记为 (A’)。
- (A’) 和 (B) 中的顶点为 (s) - 房屋，(A) 中的顶点为 (f) - 房屋。将 (A’) 和 (A) 中的每个顶点标记为饱和，(B) 中的每个顶点标记为不饱和，不饱和度为 1。

1.2 匹配数量关系证明

定理表明，二分图 (G) 中的匹配数量与 CHA 实例 (I) 中的流行匹配数量相同。证明思路如下：
- 对于 (G) 中的任意匹配 (M)，考虑 (M) 中的边 ((u, v))，在切换图 (S) 中可以得到长度为 2 的有向路径 (u’ → u → v)，这是 (I) 的一个切换路径。并且，从