机械臂的DH连杆参数

机械臂的DH连杆参数不止一种，这里仅记录一种改进后的DH参数。在改进的DH参数中，$fram{e}_i$对应$join{t}_i$（$lin{k}_i$的起始端关节，所有关节默认为$revolute$型）。

连杆$lin{k}_i$的始端和末端关节分别对应$fram{e}_i、fram{e}_{i+1}$，各坐标系的$z_i$轴与对应关节的旋转轴重合。从$fram{e}_{i-1}\to fraim{e}_i$的DH参数分别记为$a_i、{\alpha }_i、d_i、{\theta }_i$。

在$IntroductiontoRoboticsMechanicsandControl(JohnJ.Craig)$一书中使用了这样一张图介绍DH参数（P68）：

注意图中描述的DH参数实际上是$a_{i-1}、{\alpha }_{i-1}、d_i、{\theta }_i$，下标不统一有点不太方便后续的计算。在$SpringerHandbookofRobotics$这本书中给出了我认为更合理的DH参数确定规则（P27）：
需要改动的地方在上上幅图中有标记。在确定了$fram{e}_{i-1}\to fraim{e}_i$的DH参数后，可以将对应的齐次变换矩阵计算出来，对照上上幅图可以得到$fram{e}_{i-1}\to fraim{e}_i$这一过程中涉及的4个旋转和平移变换$R_{x_i}({\alpha }_i)T_{x_i}(a_i)R_{z_{i+1}}({\theta }_i)T_{z_{i+1}}(d_i)$，这里使用两个齐次变换矩阵表示：
$$\begin{gathered} A_i^{i^{\prime }}=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& a_i\\ 0& \cos {\alpha }_i& -\sin {\alpha }_i& 0\\ 0& \sin {\alpha }_i& \cos {\alpha }_i& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right] \\ {A}_{i^{\prime }}^{i+1}=\left[\begin{array}{cccc}\cos {\theta }_i& -\sin {\theta }_i& 0& 0\\ \sin {\theta }_i& \cos {\theta }_i& 0& 0\\ 0& 0& 1& d_i\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right] \end{gathered}$$
于是得到最终的齐次变换矩阵：
$$\begin{array}{rl}{A}_i^{i+1}& =A_i^{i^{\prime }}\cdot A_{i^{\prime }}^{i+1}\\ & =\left[\begin{array}{cccc}\cos {\theta }_i& -\sin {\theta }_i& 0& a_i\\ \sin {\theta }_i\cos {\alpha }_i& \cos {\theta }_i\cos {\alpha }_i& -\sin {\alpha }_i& -d_i\sin {\alpha }_i\\ \sin {\theta }_i\sin {\alpha }_i& \cos {\theta }_i\sin {\alpha }_i& \cos {\alpha }_i& d_i\cos {\alpha }_i\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\end{array}$$

在针对具体的机械臂建立坐标系确定DH参数时，其结果并不是唯一的。每个关节的坐标系的方向存在一定的选择自由，并且不同姿态的机械臂得到的DH参数也往往不同（通常体现在$\theta$参数中）。在已知机械臂官方DH参数（通常会把$\theta$全部设置为0）的情况下，可以先参照除$\theta$以外的其他三个参数建立坐标系，然后确定$\theta$的值（不一定全为零）。将每个关节的旋转角度设置为$\theta$中对应角度的相反数即可得到官方DH参数对应的机械臂初始姿态。