向量的点积与叉积

对于如下两个向量：
$$\begin{gathered} \vec{a}=(x_1,y_1,z_1) \\ \vec{b}=(x_2,y_2,z_2) \end{gathered}$$
设它们之间的夹角为$\theta$。

• 向量点积（内积）运算的结果是一个标量，定义为：
  $$\vec{a}\cdot \vec{b}=x_1{x}_2+y_1{y}_2+z_1{z}_2$$
  在几何上，向量点积运算表示 一个向量的模 与 另一个向量在该向量方向上投影 的乘积，即：
  $$\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta$$

• 向量叉积（外积）运算的结果仍然是一个向量，定义为：
  $$\begin{array}{rl}\vec{a}\times \vec{b}& =\left|\begin{array}{ccc}i& j& k\\ x_1& y_1& z_1\\ x_2& y_2& z_2\end{array}\right|\\ & =(y_1{z}_2-y_2{z}_1)i+(x_2{z}_1-x_1{z}_2)j+(x_1{y}_2-x_2{y}_1)k\end{array}$$
  在几何意义上，向量叉积的结果是一个方向垂直于$\vec{a}、\vec{b}$的向量（可用右手定则判定），其大小为两个向量所形成的平行四边形的面积：
  $$|\vec{a}\times \vec{b}|=|\vec{a}||\vec{b}|\sin \theta$$