10、混沌动力学与统计物理基础：从耦合台球模型谈起

混沌动力学与统计物理基础：从耦合台球模型谈起

1. 哈密顿系统的遍历性问题

一般类型的哈密顿系统，其运动并非遍历的。这是由于具有规则运动的岛屿呈现出（多重）分形结构。若将这种结构从整个相空间中移除，剩余的相空间则对应着遍历运动的区域。然而，岛屿与随机海之间的边界会形成奇异区域，这使得典型的哈密顿混沌动力学难以遵循典型的动力学或规则的热力学。

2. 耦合台球模型

2.1 CS - 台球系统

在由两个不同的台球通过分隔墙上的一个洞相连的系统中，台球内的粒子会从墙壁和散射体上发生弹性反射，也能通过洞从一个台球进入另一个台球。这里研究的系统由 Sinai 台球（S）和 Cassini 台球（C）两个子系统组成，分别以圆和卡西尼椭圆作为散射体，该双台球系统被称为 CS - 台球。

经过一段时间后，CS - 台球中有望出现稳定分布。还可以定义 CS - 台球左右两半部分的分布函数，对这些分布进行归一化处理，并计算它们的左右矩。问题在于：左右矩是否相似？若答案是否定的，则可能意味着左右子系统之间不存在热力学类型的平衡。

2.2 Cassini 台球分析

• 卡西尼椭圆方程 ：Cassini 台球的内部散射体具有卡西尼椭圆的形式：((x^2 + y^2)^2 - 2c^2(x^2 - y^2) - (a^4 - c^4) = 0)。通过改变参数 (a) 和 (c)，可以创建不同的散射模式。
• 相空间特性 ：当曲线 (y = y(x)) 不是凸的时，台球的相空间属于“规则”情况，即在随机海中存在岛屿。