10、混沌动力学与热力学平衡相关研究

混沌动力学与热力学平衡相关研究

1. 哈密顿系统的遍历性问题

在一般的哈密顿系统中，运动并非遍历的。这是由于具有规则运动的岛屿呈现出（多重）分形结构。若将这种结构从整个相空间中移除，剩余的相空间则对应着遍历运动的区域。然而，岛屿与随机海之间的边界会形成奇异区域，这使得典型的哈密顿混沌动力学难以遵循典型的动力学或常规的热力学规律。

2. 耦合台球模型

考虑由卡西尼台球（左腔）和西奈台球（右腔）通过分隔墙上的小孔相连的模型，即 CS - 台球。粒子在台球中会从墙壁和散射体上弹性反射，也能通过小孔从一个台球进入另一个台球。研究的目标是确定粒子轨迹不同特征的平衡分布及其矩。
- 卡西尼台球 ：其内部散射体呈卡西尼椭圆形式：$(x^2 + y^2)^2 - 2c^2(x^2 - y^2) - (a^4 - c^4) = 0$。通过改变参数 $a$ 和 $c$ 可创建不同的散射模式。当曲线 $y = y(x)$ 非凸时，台球的相空间属于“规则”情况，即随机海中存在岛屿。庞加莱截面由点 $(x, v_x)$ 或 $(x, φ)$ 组成，其中 $x$ 是轨迹与台球底边的交点坐标，$v_x = cos φ$，$φ$ 是速度向量 $v$ 与 $x$ 轴的夹角。除岛屿和对应于 $v_x = ±1$（$φ = 0, π$）的零测度线段外，不变的勒贝格测度（平稳分布函数）在 $(x, v_x)$ 平面上非零。
- 岛屿层次结构 ：对于特定参数值（如 $a = 4.030952$ 和 $c = 3$），会出现交替的子岛屿层次结构 4 - 8 - 4 - 8 -… 。通过表 7.3.1 可了解岛屿层次结构的参数