20、异常动力学与确定性输运的深入剖析

异常动力学与确定性输运的深入剖析

1. 异常动力学中的弱遍历性破缺

在研究中发现，时间的概率密度函数（PDF）呈现出不同的形状。当某些条件下，时间的 PDF 具有 W 形，在 m/L 附近有一个峰值；而当 z = 3 时，会出现 U 形的 PDF，并且获得占据时间分数等于 m/L 的概率非常小。理论（式 (7.69)）与数值模拟的比较显示，在无需拟合的情况下两者具有极好的一致性。

弱遍历性破缺具有以下含义：
- 相空间的可访问性 ：相空间不会被划分为相互不可达的区域（与强遍历性破缺不同）。对于几乎所有（除了测度为零的集合）初始条件，系统都会访问其相空间中的所有单元格。在强遍历性破缺的情况下，构建统计力学理论的希望渺茫，因为每个轨迹的物理性质依赖于系统的初始条件。而对于弱遍历性，相空间仍然可以被充分探索，为动力学的统计分析铺平了道路，且这种分析对轨迹的初始条件不敏感。
- 访问分数的波动 ：在 t →∞ 的极限情况下，不同初始条件的访问分数波动非常小（注意，对于固定的测量时间 n 和 nm 会有较大的波动）。
- 访问分数的决定因素 ：访问分数由在给定单元格内找到一组粒子中的一个成员的概率决定。
- 占据时间的波动 ：系统在一个单元格或一个区域内花费的总时间波动强烈，并且可以用广泛适用的定律（式 (7.69)）来描述。

对于所研究的确定性动力学，占据时间的统计特性由一个单一参数 z 控制，该参数描述了在不稳定固定点附近映射的非线性。弱遍历性破缺显然与幂律异常扩散和弛豫有关，由于这些现象在许多动