9、庞加莱回归、分形时间与统计物理基础

庞加莱回归、分形时间与统计物理基础

1. 庞加莱回归相关指数分析

在研究典型动力系统时，广义维度 $D_q$ 可通过谱函数 $f(\gamma)$ 表示，但仅了解谱函数并不足以完整描述系统，还需系统在时空结构上的额外信息。当控制参数取某些特殊值，已知 $\lambda_g$、$\lambda_S$ 和 $\lambda_T$ 时，问题可得到简化。

对于庞加莱回归的临界指数，考虑第 $n$ 代边界岛层的划分、回归或逃逸情况。当以粒子占据格子的概率为单位进行归一化时，对应的“状态数”可表示为：
- $Z_{r}^{(n)} = \sum_{i_1,\cdots,i_n} \frac{1}{S_{i}^{(n)}} \omega_{i}^{(n)} = \sum_{i_1,\cdots,i_n} (\lambda_T / \lambda_S)^n$ （式 6.8.1）
更一般的表达式为：
- $Z_{r}^{(n)}(q) = \sum_{i_1,\cdots,i_n} \frac{1}{S_{i}^{(n)}} [\omega_{i}^{(n)}]^q = \sum_{i_1,\cdots,i_n} \lambda_T^{nq} / \lambda_S^n$ （式 6.8.2）
利用相关公式可推导出：
- $Z_{r}^{(n)}(q) \sim \exp{n(q \ln \lambda_T + |\ln \lambda_S| + \ln \lambda_g)}$ （式 6.8.3）
若 $\lambda_g = \lambda_T$，且岛屿数量的增殖系数与岛屿周围循环周期的增加系数一致，上式可简化为：
- $Z_{r}^{(n)}(q) \