7、分形、混沌与庞加莱重现的深入解析

分形、混沌与庞加莱重现的深入解析

1. 分形维度基础

在研究分形和混沌的领域中，分形维度是一个核心概念。对于分形结构，其第(n)代圆的相关特性有着特定的规律。假设(S_n)是第(n)代圆的面积，(\lambda_S)是一个常数，每一代会产生(q)个圆（如图中(q = 8) ）。那么对于第(n)代，有(N_n = q^n) ，(S_n = \lambda_S^n) 。
豪斯多夫维度(d_H)的计算公式为：
[d_H = \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{\ln q^n}{|\ln \lambda_S^{n/2}|} = \frac{\ln q}{|\ln \lambda_S^{1/2}|}]
当(q = 8)且(\lambda_S \leq 1/9)时，可得(d_H \leq \frac{\ln 8}{\ln 3} < 2)。

2. 广义分形维度

不同动力系统的缩放特性虽能用类似的方式表述，但并非都与传统维度有特定关系。雅·佩辛引入了一种类似维度的特征，即广义维度(d_g) 。
在空间中用元素(u_j)进行划分，形成分区({u_j}) ，并定义在分区元素(u_j)上的“良好”函数(\xi(u_j))和(\eta(u_j)) 。分区元素的有效直径需满足(\text{diam} u_j \leq \epsilon) 。考虑最小和的极限：
[S = \lim_{\epsilon\rightarrow0} \sum_{j} \xi(u_j)\eta^{d}(u_j)]
存在一个常数(d_g) ，使得(0 < S < \infty) ，这个(d_g)就是佩辛广义维度。以下是(d_g