8、庞加莱重现与分形时间：混沌动力学中的时间奥秘

庞加莱重现与分形时间：混沌动力学中的时间奥秘

1. 混沌动力学中的收敛问题

在混沌动力学里，当 $t_N$ 和 $N$ 足够大时，$\overline{f}$ 和 $\langle f \rangle$ 的结果近似相同。不过，混沌动力学随机过程的自相似性以及系统相空间中准陷阱的存在，会引发新的问题。常见的问题有：需要怎样的时间尺度 $t_0$ 和轨道数量 $N_0$，才能使当 $t_N > t_0$ 且 $N > N_0$ 时，$\overline{f}$ 接近 $\langle f \rangle$ 呢？只有具备良好混合特性的系统，才能证明 $\overline{f}$ 快速收敛到 $\langle f \rangle$，并且存在特征值 $(t_0, N_0)$。但在哈密顿系统中，通常并非如此，动力学混沌下的缓慢收敛会给混沌理论带来严重困难。

2. 退出时间分布的重整化公式

退出时间概率分布 $P_e(t; \Delta\Gamma)$ 依赖于区域 $\Delta\Gamma$ 的位置。若 $\Delta\Gamma$ 处于岛屿周围奇异区域 $\Delta\Gamma_s$ 内，根据相关公式可得：
$\dot{P}_e(t; \Delta\Gamma_s) = \psi(t; \Delta\Gamma_s) \sim P_R(t) , (t \to \infty)$
此关系仅在渐近情况下成立，且与 $\Delta\Gamma_s$ 无关。方程 (6.3.12) 有两个优点：
- 能利用奇异区域特性的局部信息，求出重现分布函数 $P_R(t)$ 的渐近形式。
- 由于相空间中区域 $\Delta\Gamma_s$ 具有时空相