8、赫斯顿随机波动率模型加速平台的比较研究

赫斯顿随机波动率模型加速平台的比较研究

1. 抽样分布与QE方案离散化

在进行抽样时，需要考虑两种分布：
- 从正态分布$N(0,1)$高斯随机变量中抽样，并根据公式$(3.4)$计算$\hat{V}(t + \Delta t)$。
- 对于$V$的小值抽样，将使用公式$(3.5)$的反函数。分布函数的反函数为：
[
\Psi^{-1}(u) = \Psi^{-1}(u; p,\beta) =
\begin{cases}
0 & \text{如果 } 0 \leq u \leq p \
\beta^{-1} \ln \left(\frac{1 - p}{1 - u}\right) & \text{如果 } p \leq u \leq 1
\end{cases}
]
$V$的值可以通过$\hat{V}(t + \Delta t) = \Psi^{-1}(U_V; p,\beta)$进行抽样，其中$U_V$是均匀随机变量。决定使用$V$的哪种离散化规则取决于分布的非中心性，可以根据$\Psi$的值进行分类。$\Psi$的值为：
[
\Psi := \frac{s^2}{m^2} = \frac{\hat{V}(t)\xi^2 e^{-\kappa\Delta t}}{\kappa}(1 - e^{-\kappa\Delta t}) + \frac{\theta\xi^2}{2\kappa}(1 - e^{-\kappa\Delta t})^2 \div (\theta + (\hat{V}(t) - \theta)e^{-\kappa\Delta t})^2
]
其中$