2、欧洲期权的赫斯顿模型

欧洲期权的赫斯顿模型

1. 模型动态

赫斯顿模型假设标的股票价格 $S_t$ 遵循类似布莱克 - 斯科尔斯的随机过程，但其方差 $v_t$ 是随机的，遵循考克斯 - 英格索尔 - 罗斯（CIR）过程。该模型由以下双变量随机微分方程组（SDEs）表示：
[
\begin{cases}
dS_t = \mu S_t dt + \sqrt{v_t} S_t dW_{1,t} \
dv_t = \kappa(\theta - v_t) dt + \sigma \sqrt{v_t} dW_{2,t}
\end{cases}
]
其中 $E_{\mathbb{P}}[dW_{1,t}dW_{2,t}] = \rho dt$。为方便表示，有时会省略时间下标，写成 $S = S_t$，$v = v_t$，$W_1 = W_{1,t}$ 和 $W_2 = W_{2,t}$。模型的参数如下：
|参数|含义|
| ---- | ---- |
|$\mu$|股票过程的漂移率|
|$\kappa > 0$|方差的均值回归速度|
|$\theta > 0$|方差的均值回归水平|
|$\sigma > 0$|方差的波动率|
|$v_0 > 0$|方差的初始（零时刻）水平|
|$\rho \in [-1, 1]$|两个布朗运动 $W_1$ 和 $W_2$ 之间的相关性|
|$\lambda$|波动率风险参数|

在历史测度 $\mathbb{P}$（也称为物理测度）下，股票价格和方差遵循上述过程。但为了进行定价，需要在风险中性测度 $\mathbb{Q