3、赫斯顿模型：积分问题、参数效应与方差建模

赫斯顿模型：积分问题、参数效应与方差建模

在金融领域，赫斯顿模型是一个重要的期权定价模型。本文将深入探讨赫斯顿模型相关的几个关键问题，包括特征函数的应用、积分问题的解决以及模型参数对期权价格和隐含波动率的影响。

特征函数相关探讨

在期权定价中，特征函数是一个非常有用的工具。对于赫斯顿模型，原本存在两个特征函数 (f_1) 和 (f_2) 与概率 (P_1) 和 (P_2) 相关联，这是因为 (P_1) 和 (P_2) 是在不同测度下得到的。然而，由于模型中只有一个基础股票价格，所以也有人认为应该只存在一个特征函数 (f(\phi)=f(\phi; x, v))。

概率 (P_1) 和 (P_2) 可以用单一特征函数表示为：
[P_1 = \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\infty}Re\left[\frac{e^{-i\phi\ln K}f(\phi - i)}{i\phi f(-i)}\right]d\phi]
[P_2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\infty}Re\left[\frac{e^{-i\phi\ln K}f(\phi)}{i\phi}\right]d\phi]

这意味着 (f_2(\phi) = f(\phi)) 且 (f_1(\phi) = \frac{f(\phi - i)}{f(-i)})。实际上，“真正”的特征函数是 (f_2)，因为它与概率测度 (\mathbb{Q}) 相关联，在风险中性随机微分方程中使 (W_{1,t}) 和 (W_{2,t}) 成为布朗运动，并且以债券作为计价单位。

基于此，看涨