13、赫斯顿模型中的模拟方法解析

赫斯顿模型中的模拟方法解析

在金融领域，对股票价格和波动率的模拟是非常重要的，赫斯顿模型提供了一种有效的方式来进行这些模拟。下面将详细介绍赫斯顿模型中常见的离散化方案。

1. 欧拉方案（Euler Scheme）

这是对过程进行离散化的最简单方法，相当于使用左点规则来近似积分。
- 方差的欧拉离散化 ：
- 公式为 (v_{t + dt} = v_t + \kappa(\theta - v_t)dt + \sigma\sqrt{v_t}\sqrt{dt}Z_V)。
- 为避免模拟中产生负的方差值，需要应用全截断方案或反射方案，即把 (v_t) 替换为 (v_t^+) 或 (|v_t|)。
- 股票价格的模拟 ：
- 可以直接模拟 (S_t)，公式为 (S_{t + dt} = S_t + (r - q)S_tdt + \sqrt{v_t}S_t\sqrt{dt}Z_S)。
- 也可以模拟 (\ln S_t) 再取指数，(\ln S_{t + dt} = \ln S_t + (r - q - \frac{1}{2}v_t)dt + \sqrt{v_t}\sqrt{dt}Z_S)，然后 (S_{t + dt} = S_t\exp((r - q - \frac{1}{2}v_t)dt + \sqrt{v_t}\sqrt{dt}Z_S))。

实施欧拉模拟时，从股票价格（或对数股票价格）的初始值 (S_0)（或 (x_0 = \ln S_0)）和方差的初始值 (v_0) 开始。根据 ((S_t, v_t)) 的值，通过上述公式更新 (v_{t + dt})