前言
-
李代数到李群的映射
李代数元素(如角速度或线速度)通过指数映射(exponential map)转换为李群元素(如旋转矩阵或刚体变换)。具体来说,对于一个李代数元素 ( ξ \xi ξ),其对应的李群元素可以表示为 ( e ξ e^{\xi} eξ)。 -
左雅可比矩阵的定义
左雅可比矩阵 ( J L ( ξ ) J_L(\xi) JL(ξ)) 用于线性化这种非线性映射。它描述了在李群的切空间中,李代数元素的小扰动如何影响李群元素。具体来说,给定一个李代数元素 ( ξ \xi ξ),其对应的李群元素 ( g = e ξ g = e^{\xi} g=eξ),左雅可比矩阵 ( J L ( ξ ) J_L(\xi) JL(ξ)) 使得在 ( ξ \xi ξ) 附近的小扰动 ( δ ξ \delta \xi δξ) 映射到李群元素的小扰动 ( δ g \delta g δg) 时,有:
δ g ≈ J L ( ξ ) δ ξ \delta g \approx J_L(\xi) \delta \xi δg≈JL(ξ)δξ
李群与李代数及其左雅可比矩阵计算
1. 李代数到李群的映射
李群和李代数是数学中描述连续对称性的重要工具。李群是一个光滑的流形,同时也是一个群,而李代数是李群在单位元处的切空间。李代数元素(如角速度或线速度)通过指数映射(exponential map)转换为李群元素(如旋转矩阵或刚体变换)。具体来说,对于一个李代数元素 ( ξ \xi ξ),其对应的李群元素可以表示为 ( e ξ e^{\xi} eξ)。
2. 左雅可比矩阵的定义
左雅可比矩阵 ( J L ( ξ ) J_L(\xi) JL(ξ)) 用于线性化李代数到李群的映射。它描述了在李群的切空间中,李代数元素的小扰动 ( δ ξ \delta \xi δξ) 如何影响李群元素的小扰动 ( δ g \delta g δg)。具体来说,给定一个李代数元素 ( ξ \xi ξ),其对应的李群元素 ( g = e ξ g = e^{\xi} g=eξ),左雅可比矩阵 ( J L ( ξ ) J_L(\xi) JL(ξ)) 使得在 ( ξ \xi ξ) 附近的小扰动 ( δ ξ \delta \xi δξ) 映射到李群元素的小扰动 ( δ g \delta g δg) 时,有:
δ g ≈ J L ( ξ ) δ ξ \delta g \approx J_L(\xi) \delta \xi δg≈JL(ξ)δξ
3. 计算左雅可比矩阵
左雅可比矩阵的计算涉及以下步骤:
对于 (SO(3))(旋转矩阵):
假设 ( ξ = ω \xi = \omega ξ=ω) 是一个角速度向量。旋转矩阵 ( R = e [ ω ] × R = e^{[\omega]_\times} R=e[ω]×),其中 ( [ ω ] × [\omega]_\times [ω]