【李群李代数】SO(3) \ SE(3) 左雅可比矩阵的计算方法

前言

1. 李代数到李群的映射
   李代数元素（如角速度或线速度）通过指数映射（exponential map）转换为李群元素（如旋转矩阵或刚体变换）。具体来说，对于一个李代数元素 ($\xi$)，其对应的李群元素可以表示为 ($e^{\xi }$)。

2. 左雅可比矩阵的定义
   左雅可比矩阵 ($J_L(\xi )$) 用于线性化这种非线性映射。它描述了在李群的切空间中，李代数元素的小扰动如何影响李群元素。具体来说，给定一个李代数元素 ($\xi$)，其对应的李群元素 ($g=e^{\xi }$)，左雅可比矩阵 ($J_L(\xi )$) 使得在 ($\xi$) 附近的小扰动 ($\delta \xi$) 映射到李群元素的小扰动 ($\delta g$) 时，有：
   $$\delta g\approx J_L(\xi )\delta \xi$$

李群与李代数及其左雅可比矩阵计算

1. 李代数到李群的映射

李群和李代数是数学中描述连续对称性的重要工具。李群是一个光滑的流形，同时也是一个群，而李代数是李群在单位元处的切空间。李代数元素（如角速度或线速度）通过指数映射（exponential map）转换为李群元素（如旋转矩阵或刚体变换）。具体来说，对于一个李代数元素 ($\xi$)，其对应的李群元素可以表示为 ($e^{\xi }$)。

2. 左雅可比矩阵的定义

左雅可比矩阵 ($J_L(\xi )$) 用于线性化李代数到李群的映射。它描述了在李群的切空间中，李代数元素的小扰动 ($\delta \xi$) 如何影响李群元素的小扰动 ($\delta g$)。具体来说，给定一个李代数元素 ($\xi$)，其对应的李群元素 ($g=e^{\xi }$)，左雅可比矩阵 ($J_L(\xi )$) 使得在 ($\xi$) 附近的小扰动 ($\delta \xi$) 映射到李群元素的小扰动 ($\delta g$) 时，有：
$$\delta g\approx J_L(\xi )\delta \xi$$

3. 计算左雅可比矩阵

左雅可比矩阵的计算涉及以下步骤：

对于 (SO(3))（旋转矩阵）：

假设 ($\xi =\omega$) 是一个角速度向量。旋转矩阵 ($R=e^{[\omega {]}_{\times }}$)，其中 ($[\omega {]}_{\times }$) 是 ($\omega$) 的反对称矩阵。左雅可比矩阵 ($J_L(\omega )$) 可以通过以下公式计算：
$$J_L(\omega )=I+\frac{1-\cos (|\omega |)}{|\omega {|}^2}[\omega {]}_{\times }+\frac{|\omega |-\sin (|\omega |)}{|\omega {|}^3}[\omega {]}_{\times }^2$$
其中 ($I$) 是单位矩阵。

对于 (SE(3))（刚体变换）：

假设 ($\xi =(\omega ,v)$) 包含角速度 ($\omega$) 和线速度 ($v$)。刚体变换矩阵 ($T=e^{[\xi {]}_{\times }}$)，其中 ($[\xi {]}_{\times }$) 是 ($\xi$) 的反对称矩阵。左雅可比矩阵 ($J_L(\xi )$) 可以通过以下公式计算：
$$J_L(\xi )=\left(\begin{array}{cc}{J}_L(\omega )& Q(\xi )\\ 0& J_L(\omega )\end{array}\right)$$
其中 ($J_L(\omega )$) 是上述 ($SO(3)$) 的左雅可比矩阵，($Q(\xi )$) 是一个与 ($\xi$) 相关的矩阵，具体形式为：
$$Q(\xi )=\frac{1-\cos (|\omega |)}{|\omega {|}^2}[v{]}_{\times }+\frac{|\omega |-\sin (|\omega |)}{|\omega {|}^3}([\omega {]}_{\times }[v{]}_{\times }+[v{]}_{\times }[\omega {]}_{\times })+\frac{|\omega {|}^2-2(1-\cos (|\omega |))}{|\omega {|}^4}[\omega {]}_{\times }[v{]}_{\times }[\omega {]}_{\times }$$

4. 示例计算

假设 ($\omega =\left(\begin{array}{c}{\omega }_1\\ {\omega }_2\\ {\omega }_3\end{array}\right)$)，则其反对称矩阵为：
$$[\omega {]}_{\times }=\left(\begin{array}{ccc}0& -{\omega }_3& {\omega }_2\\ {\omega }_3& 0& -{\omega }_1\\ -{\omega }_2& {\omega }_1& 0\end{array}\right)$$

通过上述公式，可以计算出左雅可比矩阵 ($J_L(\omega )$)。

总结

左雅可比矩阵的计算公式和步骤基本正确，但对于 ($SE(3)$) 的左雅可比矩阵，需要补充 ($Q(\xi )$) 的计算公式。希望这些修正和补充对你有所帮助。

参考网址：李群与李代数

您的公式看起来是正确的。以下是一些关键点的验证：

1. 左雅可比矩阵 (J_L(\xi))：

   • 公式 ($J_L(\xi )=\left(\begin{array}{cc}{J}_L(\omega )& Q(\xi )\\ 0& J_L(\omega )\end{array}\right)$) 是正确的，其中 ($J_L(\omega )$) 是 ($SO(3)$) 的左雅可比矩阵。

2. 矩阵 (Q(\xi))：

   • 矩阵 ($Q(\xi )$) 的形式也正确。它包含了与角速度 (\omega) 和线速度 (v) 相关的项，并且使用了反对称矩阵 ($[v{]}_{\times }$) 和 ($[\omega {]}_{\times }$)。

3. 具体形式：

   • ($Q(\xi )$) 的具体形式：
     $$Q(\xi )=\frac{1-\cos (|\omega |)}{|\omega {|}^2}[v{]}_{\times }+\frac{|\omega |-\sin (|\omega |)}{|\omega {|}^3}([\omega {]}_{\times }[v{]}_{\times }+[v{]}_{\times }[\omega {]}_{\times })+\frac{|\omega {|}^2-2(1-\cos (|\omega |))}{|\omega {|}^4}[\omega {]}_{\times }[v{]}_{\times }[\omega {]}_{\times }$$
     这个公式是正确的，并且与文献中的推导一致¹²。

如果您有具体的计算步骤或结果需要进一步验证，请提供更多详细信息，我可以帮助您检查具体的计算过程。

¹: 《视觉SLAM十四讲》中SE(3)指数映射和左雅克比矩阵的推导
²: se(3)与so(3)左乘、右乘扰动模型雅克比推导

源: 与必应的对话， 2025/1/15
(1) 《视觉SLAM十四讲》中SE(3)指数映射和左雅克比矩阵的推导. https://blog.youkuaiyun.com/Robert_Q/article/details/122183820.
(2) se(3)与so(3)左乘、右乘扰动模型雅克比推导 - 优快云博客. https://blog.youkuaiyun.com/weixin_43196818/article/details/127660251.
(3) 一、利用左扰动模型求雅可比矩阵 - 优快云博客. https://blog.youkuaiyun.com/qq_45060471/article/details/127705516.