【李群李代数】SO(3) \ SE(3) 左雅可比矩阵的计算方法

前言

  1. 李代数到李群的映射
    李代数元素(如角速度或线速度)通过指数映射(exponential map)转换为李群元素(如旋转矩阵或刚体变换)。具体来说,对于一个李代数元素 ( ξ \xi ξ),其对应的李群元素可以表示为 ( e ξ e^{\xi} eξ)。

  2. 左雅可比矩阵的定义
    左雅可比矩阵 ( J L ( ξ ) J_L(\xi) JL(ξ)) 用于线性化这种非线性映射。它描述了在李群的切空间中,李代数元素的小扰动如何影响李群元素。具体来说,给定一个李代数元素 ( ξ \xi ξ),其对应的李群元素 ( g = e ξ g = e^{\xi} g=eξ),左雅可比矩阵 ( J L ( ξ ) J_L(\xi) JL(ξ)) 使得在 ( ξ \xi ξ) 附近的小扰动 ( δ ξ \delta \xi δξ) 映射到李群元素的小扰动 ( δ g \delta g δg) 时,有:
    δ g ≈ J L ( ξ ) δ ξ \delta g \approx J_L(\xi) \delta \xi δgJL(ξ)δξ

李群与李代数及其左雅可比矩阵计算

1. 李代数到李群的映射

李群和李代数是数学中描述连续对称性的重要工具。李群是一个光滑的流形,同时也是一个群,而李代数是李群在单位元处的切空间。李代数元素(如角速度或线速度)通过指数映射(exponential map)转换为李群元素(如旋转矩阵或刚体变换)。具体来说,对于一个李代数元素 ( ξ \xi ξ),其对应的李群元素可以表示为 ( e ξ e^{\xi} eξ)。

2. 左雅可比矩阵的定义

左雅可比矩阵 ( J L ( ξ ) J_L(\xi) JL(ξ)) 用于线性化李代数到李群的映射。它描述了在李群的切空间中,李代数元素的小扰动 ( δ ξ \delta \xi δξ) 如何影响李群元素的小扰动 ( δ g \delta g δg)。具体来说,给定一个李代数元素 ( ξ \xi ξ),其对应的李群元素 ( g = e ξ g = e^{\xi} g=eξ),左雅可比矩阵 ( J L ( ξ ) J_L(\xi) JL(ξ)) 使得在 ( ξ \xi ξ) 附近的小扰动 ( δ ξ \delta \xi δξ) 映射到李群元素的小扰动 ( δ g \delta g δg) 时,有:
δ g ≈ J L ( ξ ) δ ξ \delta g \approx J_L(\xi) \delta \xi δgJL(ξ)δξ

3. 计算左雅可比矩阵

左雅可比矩阵的计算涉及以下步骤:

对于 (SO(3))(旋转矩阵):

假设 ( ξ = ω \xi = \omega ξ=ω) 是一个角速度向量。旋转矩阵 ( R = e [ ω ] × R = e^{[\omega]_\times} R=e[ω]×),其中 ( [ ω ] × [\omega]_\times [ω]

评论
添加红包

请填写红包祝福语或标题

红包个数最小为10个

红包金额最低5元

当前余额3.43前往充值 >
需支付:10.00
成就一亿技术人!
领取后你会自动成为博主和红包主的粉丝 规则
hope_wisdom
发出的红包
实付
使用余额支付
点击重新获取
扫码支付
钱包余额 0

抵扣说明:

1.余额是钱包充值的虚拟货币,按照1:1的比例进行支付金额的抵扣。
2.余额无法直接购买下载,可以购买VIP、付费专栏及课程。

余额充值