数值分析2024 -常微分方程（ODE） 的数值解法，重点讨论了如何通过数值方法近似求解初始值问题（IVP）和边界值问题（BVP）

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本章主要介绍了常微分方程（ODE） 的数值解法，重点讨论了如何通过数值方法近似求解初始值问题（IVP）和边界值问题（BVP）。由于许多微分方程无法通过解析方法求解，数值方法成为了解决这些问题的关键工具。以下是本章的主要内容总结：

1. 常微分方程简介：

   • 常微分方程是描述函数及其导数之间关系的方程。通常，微分方程的解不唯一，需要通过初始条件或边界条件来确定唯一解。
   • 初始值问题（IVP）和边界值问题（BVP）是两类常见的微分方程问题，分别通过初始条件和边界条件来确定解。

2. 数值解法的基本思想：

   • 数值解法的目标是通过离散化时间域，逐步逼近微分方程的解。常见的数值解法包括欧拉法、中点法和龙格-库塔法等。
   • 数值解法的核心思想是通过近似导数，逐步推进解的计算。

3. 欧拉法（Euler’s Method）：

   • 欧拉法是最简单的数值解法，通过当前点的斜率来近似下一个点的解。其公式为：
     $$x_{n+1}=x_n+hf(t_n,x_n)$$
     其中，( h ) 是时间步长，( f(t_n, x_n) ) 是微分方程的右端函数。
   • 欧拉法的误差阶数为 ( \mathcal{O}(h) )，适用于简单的微分方程，但在高曲率区域误差较大。

4. 中点法（Midpoint Method）：

   • 中点法通过在当前点进行半步推进，计算中点处的斜率，然后使用该斜率进行全步推进。其公式为：