cwplh的博客

本文介绍了优化线段树实现的多种方法，主要包括： I/O优化 - 使用scanf/printf替代cin/cout、关闭流同步、实现快读快输、使用fread/fwrite高级优化 递归改递推 - 减少递归调用的性能开销 离散化 - 将大值域映射到小范围内，降低空间和时间复杂度 结构体优化 - 使用结构体代替单独数组，提高CPU缓存命中率 C++函数特性 - 利用inline、const等关键字进行编译器优化 这些优化技巧可以有效提升线段树的执行效率，特别是在处理大规模数据时效果显著。文章还提供了相关优化的具体

本文介绍了线段树的基本概念和操作。首先通过二分查找思想引出线段树的单点查询功能，然后扩展到单点修改。重点讲解了区间查询和区间修改的实现方法：区间查询采用分治思想递归处理覆盖区间，区间修改引入懒标记(lazy tag)来提高效率。文中提供了详细的代码实现，包括查询、更新、pushdown和pushup等核心函数，并总结了线段树的三种经典应用模型：单点修改区间查询、区间修改单点查询、区间修改区间查询。线段树通过分治策略和懒标记技术，将操作时间复杂度优化到O(log n)。

本文总结了动态规划（DP）的基本概念和实现方法，包括一维和二维DP的应用。DP的核心思想是利用已知状态推导新状态，主要实现方式为递推和递归（记忆化搜索）。文章通过斐波那契数列、最大连续子序列和（一维DP）、最长上升子序列（LIS）及其优化方法，以及二维DP中的“马拦过河卒”问题等经典例题，详细讲解了DP的解题思路和优化技巧。此外，还介绍了空间优化方法如滚动数组，并展示了不同场景下DP的具体应用，帮助读者逐步掌握动态规划的基础知识和解题策略。

马拉车算法（Manacher Algorithm）是一种在O(n)时间复杂度内求解最长回文子串的高效算法。它通过在字符间插入特殊符号（如#）统一处理奇偶长度回文串。算法的核心思想是利用回文串的对称性，通过已知信息优化计算：维护当前最右回文串的中心c和半径r[c]，对于新位置i，根据其对称点j的信息快速确定初始半径，再暴力扩展。相比传统O(n^2)方法大幅提升了效率。该算法代码简洁，只需一次遍历即可找到最长回文子串。

本文介绍了Trie树的基本概念和应用。Trie树是一种用于处理字符串前缀问题的树形结构，通过将字符串的字符作为边来构建树，每个字符串的末尾节点会被标记。文章通过图示和代码展示了Trie的构建过程，并对比了暴力解法与Trie解法在查询问题上的效率差异，说明Trie能有效降低时间复杂度。最后预告下一篇文章将讲解AC自动机。

KMP算法详解：一种高效的字符串匹配技术 KMP算法由Knuth、Pratt和Morris三位科学家提出，解决了传统暴力字符串匹配效率低下的问题。该算法通过分析模式字符串的最长公共前后缀，避免不必要的比较操作，将时间复杂度从O(nm)优化到O(n+m)。核心在于构建next数组，记录模式字符串的匹配失败时应该回溯的位置。文章详细讲解了暴力枚举法的缺陷、KMP算法的思想精髓、next数组的构建过程以及完整的KMP实现代码，并附有图解说明。该算法思想深刻，代码简洁优美，是字符串处理领域的重要突破。

高斯消元法是一种用于求解线性方程组的经典算法，通过矩阵变换将系数矩阵转化为上三角结构，最终实现方程求解。该算法不仅能解线性方程组，还可用于行列式计算和矩阵求逆。文章详细介绍了高斯消元的基本步骤，包括行变换、主元选取和回代过程，并分析了特殊情况（如主元为0）的处理方法。作者还提出了一种改进算法，通过全列消元和随机主元选择简化计算过程。时间复杂度均为O(n³)，适用于计算机求解多元一次方程组。文末附有代码实现，展示了高斯消元在编程中的应用。

数位 DP 是一种用于数字数位统计的 DP，是一种简单的DP 套路题。（其实一点都不简单……）

状压 DP 其实约等于一个 DP 的小技巧，一般应用在处理一个或多个集合的问题中（因为状压 DP 的下标就是一个集合），而且在nnn太大的时候建议不要使用这种方法。（如果你不懂，那么就继续往下看。好吧你本来就不懂。

本文介绍了图论中的两种连通分量算法。点双连通分量（v-dcc）定义为不含割点的极大连通子图，通过Tarjan算法识别割点（满足dfn[u]<=low[i]的非根节点或多子树的根节点），并用栈保存节点来划分点双。边双连通分量（e-dcc）则是极大不含桥的连通子图，其判定条件为dfn[x]<low[y]，算法同样基于Tarjan，通过比较dfn和low值识别桥并划分边双。两种算法均采用深度优先搜索和栈结构实现分量划分，核心代码展示了具体的实现逻辑。

本文介绍了两种重要的图论算法：拓扑排序和强连通分量(SCC)。拓扑排序是将有向无环图(DAG)节点线性排序的算法，通过不断移除入度为0的节点实现。强连通分量则是图中极大强连通子图，Tarjan算法通过深度优先搜索和dfn/low数组标记来识别SCC。文章还介绍了缩点技术，即将SCC合并为单个节点构建新图，便于后续处理。这两种算法在解决图论问题时非常有用，尤其适合处理依赖关系、环路检测等场景。

上面的过程中省略了一些步骤，还用了一些数学符号，但我相信应该能看懂，看不懂的可以抠破脑袋想。当然这就有个问题：这费马小定理有什么用呢？互质的数所构成的集合叫做最简剩余系。这也很好理解，相信大家都能想通，就不多讲了。的最简剩余系的长度，假设一个数。然后我们把左右两边同时除以一个。为质数时，我们就可以得到。互质，则我们可以得到。

很简单，我们只需要用一个 dfs，然后从根节点开始往下搜，然后搜它的子树的大小，再把自身的大小加上它子树的大小表示这棵树总的大小，然后取子树大小中的最大值，最后更新答案。（这里以及下文中的「子树」若无特殊说明都是指无根树的子树，即包括「向上」的那棵子树，并且不包括整棵树自身。我们这样思考：假设我现在把根转移给了我的子节点，那么被我转移了的那个子节点的总深度就少了。为根节点往下的总的点数），而其他的子树的总深度就加上了。现在应该就明白了重心的定义了吧。为根的子树大小（即子树上结点的个数，包括根结点）。

现在，国土安全局局长希望知道，至少需要多少名边防战士，才能使得他们的奔袭区间覆盖全部的边境线，从而顺利地完成国旗计划。不仅如此，安全局局长还希望知道更详细的信息：对于每一名边防战士，在他必须参加国旗计划的前提下，至少需要多少名边防战士才能覆盖全部边境线，从而顺利地完成国旗计划。我们上面说了，如果相等就不执行操作，也就是不跳，所以我们肯定不会到他们的 LCA，而是会很接近，而最接近的地方就是它的子节点了，所以最后再往上跳一个就行了。最后经过很多次循环后，我们成功找到了他们的 LCA，的子节点，为啥呢？

主要知识点：并查集、 Dijkstra 、查分约束、同余最短路。