状压 DP 详解

简介

状压 DP 其实约等于一个 DP 的小技巧，一般应用在处理一个或多个集合的问题中（因为状压 DP 的下标就是一个集合），而且在 $n$ 太大的时候建议不要使用这种方法。（如果你不懂，那么就继续往下看。好吧你本来就不懂。）

做法

状压 DP 的本质就是用一连串的 $0/1$ 表示一个集合中的每一个元素的状态，一个 $0/1$ 就对应一个元素的状态，它所组成的编码就很像二进制，所以状压 DP 的下标大小一般都是 $2^n$（如果 $n$ 很大，那么你就会收到一份 $MLE$ 大礼包，好吧有时候是 $CE$），用来保存当前这个集合的状态。

然后我们就可以用位运算来操作与处理，为了方便讲解，我们选择一道例题：

洛谷 P1171

某乡有 $n(2\le n\le 20)$ 个村庄，有一个售货员，他要到各个村庄去售货，各村庄之间的路程 $s(0<s<1000)$ 是已知的，且 $A$ 村到 $B$ 村与 $B$ 村到 $A$ 村的路大多不同。为了提高效率，他从商店出发到每个村庄一次，然后返回商店所在的村，假设商店所在的村庄为 $1$，他不知道选择什么样的路线才能使所走的路程最短。请你帮他选择一条最短的路。

这道题一看就知道肯定能写最短路，但是我们讲的是状压 DP，那就拿状压 DP 写吧。

首先确定下标是什么。状压 DP 下标的第一维肯定是当前状态，那是啥的状态呢？一看：$n\le 20$。这不妥妥的天生状压 DP 之体吗？所以状态就很简单了：当前这个点走没走过（也只能这么定义了，又不可能定义这个点存不存在，如果是这样的话那这个村子都没了还走个什么）。然后第二位就是图上 DP 的经典操作——当前在哪个点——了啊。一算总大小，刚好 $10^7=10000000$ 左右（$2^{20}=1048576$），不多不少。

那么 dp[i][j] 的定义自然就是在 $i$ 这个状态下从第 $1$ 个点到第 $j$ 个点的最短距离。

其次就是状态转移方程了。首先状压 DP 的标配就是枚举当前状态，即从 $\underset{n\text{个}0}{\underbrace{00\dots 0}}$ 到 $\underset{n\text{个}1}{\underbrace{11\dots 1}}$（在十进制下就是从 $0$ 到 $2^n-1$，这个减 $1$ 的原因是因为二进制是从第 $0$ 位开始算的，不是第 $1$ 位，所以说最高位实际上是第 $n-1$ 位，正好 $2^n-1$ 就有 $n-1$ 位，且能极好的表达 $\underset{n\text{个}1}{\underbrace{11\dots 1}}$ 这个数），这就是第一层循环。

其次肯定要枚举当前在哪个点。那对于当前所在的点我们就要进行分类讨论了：这个点在当前状态下走过还是没走过。现在我们不要管实际上是不是真的走过某个点，我们就认为当前这个状态就是对的。那走过的肯定不用说，走都走过了还有什么好更新的，关键在于没走过的。

没走过的我们就按照类似 Floyd 的方法，即给它找一个中转点（毕竟 Floyd 的本质不就是一个类似于 DP 的东西吗），所以我们只需要再浅浅的加一层循环找一个中转点，当然，这个中转点必须是当前状态下已经走过的点。（你自己都没走过还想帮别人。）

于是我们就可以写出一份伪代码：

memset(dp,0x3f3f3f3f,sizeof(dp));
dp[1][1]=0;//初始化：走过 1 且从 1 到 1 的距离等于没有距离（没走过一个点怎么走？）
for(int i=0;i<(1<<n);i++)
{
    for(int j=1;j<=n;j++)
    {
        if(!((1<<j-1)&i))
        {
            for(int k=1;k<=n;k++)
            {
                if((1<<k-1)&i)
                {
                    dp[i|(1<<j-1)][j]=min(dp[i|(1<<j-1)][j],dp[i][k]+a[k][j]);
                }
            }
        }
    }
}

有人会说：你这个时间复杂度一看就是 $O(2^n\times n^2)$ 啊，这不包超时的吗？啊，其实是不会的，因为你看到第 $5$ 行没有？这一句话会帮我省掉大部分循环，所以总体时间复杂度是肯定没有那么高的，是肯定不会超时的。

于是我们就可以写出完整代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,ans=0x3f3f3f3f,a[26][26],dp[1050006][26];
signed main()
{
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            cin>>a[i][j];
        }
    }
    memset(dp,0x3f3f3f3f,sizeof(dp));
    dp[1][1]=0;
    for(int i=0;i<(1<<n);i++)
    {
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            if(!((1<<j-1)&i))
            {
                for(int k=1;k<=n;k++)
                {
                    if((1<<k-1)&i)
                    {
                        dp[i|(1<<j-1)][j]=min(dp[i|(1<<j-1)][j],dp[i][k]+a[k][j]);//中转一下
                    }
                }
            }
        }
    }
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        ans=min(ans,dp[(1<<n)-1][i]+a[i][1]);//在经过了所有点的情况下最后走那个点路程最短呢？
    }
    cout<<ans;
    return 0;
}

以上就是状压 DP 的全部内容了。喜欢的同学们麻烦点个赞、收藏一下，我们下期再见。