2.27学习笔记——关于同余最短路的补充

前置：寒假学习笔记【匠心制作，图文并茂】——1.17图论复习

欧拉定理

前置概念

我们把一个集合 { 0 , 1 , 2 , … , n − 1 } \{0,1,2,\dots,n-1\} {0,1,2,…,n−1} 叫做 $n$ 的剩余系。而这个剩余系中与 $n$ 互质的数所构成的集合叫做最简剩余系。我们再定义 $\varphi (n)$ 表示 $n$ 的最简剩余系的长度，假设一个数 $a$ 与 $n$ 互质，则我们可以得到欧拉定理：

$$a^{\varphi (n)}\equiv 1(\mathrm{mod}n)$$

证明如下：

假设 $n$ 的最简剩余系为 { p 1 , p 2 , … , p x } \{p_1,p_2,\dots,p_x\} {p1​,p2​,…,px​}，则：

$\because p_i<n,p_j<n$

$\therefore n\nmid p_i-p_j$

$\because a\text{与}n\text{互质}$

$\therefore n\nmid a$

$\therefore n\nmid a\times (p_i-p_j)$

$\therefore a\times p_i\not\equiv a\times p_j(\mathrm{mod}n)$

$\therefore p_1\times p_2\times \cdots \times p_x\equiv a{p}_1\times a{p}_2\times \cdots \times a{p}_x(\mathrm{mod}n)$

$\therefore {\prod }_{i=1}^x{p}_i\equiv a^x\times {\prod }_{i=1}^x{p}_i(\mathrm{mod}n)$

$\because {\prod }_{i=1}^x{p}_i\text{与}n\text{互质}$

$\therefore a^x\equiv 1(\mathrm{mod}n)$

$\therefore a^{\varphi (n)}\equiv 1(\mathrm{mod}n)$

上面的过程中省略了一些步骤，还用了一些数学符号，但我相信应该能看懂，看不懂的可以抠破脑袋想。

而当 $n$ 为质数时，我们就可以得到费马小定理：

$$a^{n-1}\equiv 1(\mathrm{mod}n)$$

当然，仅限于 $n$ 为质数的时候。

当然这就有个问题：这费马小定理有什么用呢？用处可大了，比如让你手算：

$$3^{99999}\mathrm{mod}7=?$$

这时候，根据费马小定理就可以简化这个式子：

$$\begin{array}{rl}\text{原式}& =3^{16666\times 6}\times 3^3\mathrm{mod}7\\ & =(3^{7-1}{)}^{16666}\times 3^3\mathrm{mod}7\\ & =(3^{7-1}\mathrm{mod}7{)}^{16666}\times 3^3\mathrm{mod}7\\ & =1^{16666}\times 27\mathrm{mod}7\\ & =27\mathrm{mod}7\\ & =6\end{array}$$

对于上面的欧拉定理，还有个小问题：$\varphi (n)$ 怎么求呢？

由此，我们引出第二个公式：

假设 $q_1,q_2,\dots ,q_y$ 是 $n$ 的质因数，则：

$$\varphi (n)=n\times \prod _{i=1}^y(1-\frac{1}{q_i})$$

证明也很好证：

根据容斥原理可知：

$$\varphi (n)=n-\frac{n}{q_1}-\frac{n}{q_2}+\frac{n}{q_1\cdot q_2}-\frac{n}{q_3}+\frac{n}{q_1\cdot q_3}+\frac{n}{q_2\cdot q_3}-\frac{n}{q_1\cdot q_2\cdot q_3}\cdots$$

我们先看 $y=2$ 的情况：

$$\begin{array}{rl}\varphi (n)& =n-\frac{n}{q_1}-\frac{n}{q_2}+\frac{n}{q_1\cdot q_2}\\ & =n\times (1-\frac{1}{q_1}-\frac{1}{q_2}+\frac{1}{q_1\cdot q_2})\\ & =n\times [(1-\frac{1}{q_1})-\frac{1}{q_2}\times (1-\frac{1}{q_1})]\\ & =n\times (1-\frac{1}{q_1})\times (1-\frac{1}{q_2})\end{array}$$

$y=3$ 时化简后：

$$n\times (1-\frac{1}{q_1})\times (1-\frac{1}{q_2})\times (1-\frac{1}{q_3})$$

所以我们就可以通过以上规律得到：

$$\varphi (n)=n\times \prod _{i=1}^y(1-\frac{1}{q_i})$$

让我们回到这个式子上来：$a^{n-1}\equiv 1(\mathrm{mod}n)$

然后我们把左右两边同时除以一个 $a$ 得：

$$a^{-1}\equiv a^{n-2}(\mathrm{mod}n)$$

那么，我们就可以知道下面这个等式：

$$\frac{b}{a}\mathrm{mod}n=a^{n-2}\times b\mathrm{mod}n$$

这也很好理解，相信大家都能想通，就不多讲了。

写完了发现和同余最短路好像没什么关系。