百囚问题——颠覆你的常识系列一

背景

“百囚问题”是由丹麦计算机学家 Peter Bro Miltersen 于 2003 年提出的，但关于问题本身，Peter Bro Miltersen 并没有找到解决方法，最终解决方案还是由他的同事 Sven Skyum 找到的，然后他俩还发表了一篇论文《The cell probe complexity of succinct data structures》。感兴趣的同学可以去查一下原文。

问题

现在一共有 $100$ 个囚犯，你是监狱长，你决定给他们最后一次机会，现在一个房间里有 $100$ 个箱子，箱子上写着 $1$ 到 $100$ 的数字，每个箱子中有一张纸，纸上是 $1$ 到 $100$ 中随机的一个数字（保证任意两张纸的数字不一样），现在每个囚犯可以进去任意打开 $50$ 个箱子，在打开完 $50$ 个箱子之后要把所有箱子关上，不能做任何痕迹，如果这 $100$ 个犯人都开到了写着自己号码的纸，那么他们就都可以被释放，如果其中一人没开到，那么所有囚犯会被立即处决。囚犯们在进去之前可以商量策略，请问他们应该怎么做？

解决方法

正常来讲，如果这 $100$ 个囚犯进去之后真就随便打开 $50$ 个箱子，那么他成功的概率就是 $\frac{1}{2}$，$100$ 个囚犯就是 $\underset{100\text{个}\frac{1}{2}}{\underbrace{\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\times \cdots \times \frac{1}{2}}}\approx 8\times 10^{-30}$，几乎可以看做没有。但有一种方法可以让这个概率提升到 $31\%$ 左右，这到底是怎么做到的呢？

在这个问题中，我们要注意的是通过当前我已知的条件去推测未知，因为这个房间内每个箱子都有一张纸，所以这里面的箱子就必然能组成很多个环，最小的就是一个自环，最大的就是这 $100$ 个箱子全组成一个环，那我们只需要先打开自己编号的那个箱子，然后再打开这个箱子内的纸上写的编号的那个箱子，那在经过了很多个箱子后，这个人必然会通过某一个环开到含有他编号的箱子。

但这看上去似乎概率也很小啊，怎么算的 $31\%$？就下来就让我来给你证明一下。

证明

首先假设我要从 $100$ 个箱子里面选出 $k$ 个箱子组成一个环，那我能选出 $k$ 个箱子的情况就是 $C_{100}^k$，而这 $k$ 个箱子又可以组成很多个环，我们可以算一算。

首先第一个点可以在 $k$ 个中选择一个，就有 $k$ 种情况，那么第二个点就只能在 $k-1$ 种中选择一个，接着是 $k-2,k-3\dots$，一直到 $1$，所以总的方案数就是 $k!$，但有一个问题：环是可以转的，而转了之后的环是和原本一样的，但我们算作是不一样的，具体见下面这张图：

所以我们要早原本的基础上除以 $k$，再乘上前面的 $C_{100}^k$，我们就可以得到组成一个长度为 $k$ 的环的所有总方案为：

$$\frac{C_{100}^k\times k!}{k}$$

然后我们就要考虑把这些纸片放进去的情况了，假设我们只选了长度为 $k$ 的所有环中的一种，那么我们看看放纸片有多少种情况。跟上面算箱子的算法一样，但是不能除以 $k$ 了，因为这个纸条是有一定顺序的，转一下就不成立了，所以他的种类数就是 $C_{100}^k\times k!$，那么我们能从中挑出唯一的一种的概率就是 $\frac{1}{C_{100}^k\times k!}$，把上下两个乘起来，我们就得到了满足条件的环的概率是：

$$\frac{\frac{C_{100}^k\times k!}{k}}{C_{100}^k\times k!}=\frac{1}{k}$$

然后我们假设 $k$ 是所有环中长度最大的那个环，因为每个囚犯可以开 $50$ 个箱子，所以只要 $k>50$，那么就必然不会成功，我们可以算算失败的概率是：

$$P(fail)=\sum _{k=51}^{100}\frac{1}{k}\approx 69\%$$

所以成功的概率就是 $1-P(fail)\approx 31\%$。

然而这还不是它最惊艳的地方，它最惊艳的地方在于按照这种方法，不管有多少个犯人，最终他们活下来的概率都是 $30\%$ 以上，正是这一点才让它如此著名。