题解：P5684 [CSP-J2019 江西] 非回文串

传送门

一道很简单的数学题。。。

题目简化：给定一个字符串，通过交换顺序使它不是一个回文串。

看上去很简单，用一个大模拟就行了。

数据： $3\le n\le 2000$。

如果直接用模拟的话，时间复杂度就是 $O(n!)$，最坏情况下是 $2000!$。

注意看题目中的这几个字：交换顺序。这说明了这个字符串中的字符是不会改变的，而题目要求我们求有多少种情况使得这个字符串不是回文串。

与回文串相关，立马想到回文串的对称性！

所以第一步一定是先统计每个字符出现了多少次（这里建议用 map）。

for(int i=1;i<=n;i++)
{
	cin>>c[i];
	mp[c[i]]++;//用mp来统计个数
}

因为回文串具有对称性，所以我们只需要考虑一边，另一边跟这边也就一样了。

直接求非回文串的个数太麻烦，这里用了正难则反的思路：我们只需要求出有多少个回文串，再用总的个数减掉就是答案了。

总的个数很好求，就是 $n!$，那回文串的个数怎么求呢？

我们前面说过，考虑回文串只需要考虑一边就行了，所以说我们只需要将每种字符出现的次数 mp[c[i]]除以 $2$ 就可以了。由此，我们需要将 mp[c[i]]分成两类。

当 mp[c[i]]为偶数时

此时 mp[c[i]]可以直接被分成两部分，总的 $n$ 也一定是偶数。一边就有 $\frac{n}{2}$ 个字母，每个字母之间互相交换，一共有 $\frac{n}{2}!$ 种情况。

现在我们又对于每个字母进行讨论。

因为字母之间是可以两两交换的，总的方案也就有 $m{p}_{c_i}!$ 种但是同一边交换是没有用的啊，所以我们还要再这个基础上再去掉重复的，也就是同一边的搭配情况，算下来是 $(m{p}_{c_i}/2)!$。

把上面的公式合在一起，我们就得到了一个字母的排列情况，即。

$$\frac{m{p}_{c_i}!}{(m{p}_{c_i})/2}$$

一共有 26 个字母，所以共有。

$$\prod _{i=1}^{26}\frac{m{p}_{c_i}!}{(m{p}_{c_i})/2}$$

最后再把总共的排列情况乘上，所以最终的公式是。

$$\frac{n}{2}!\times \prod _{i=1}^{26}\frac{m{p}_{c_i}!}{(m{p}_{c_i})/2}$$

最后用 $n!$ 减去这么多就是答案了。

$$ans=n!-\frac{n}{2}!\times \prod _{i=1}^{26}\frac{m{p}_{c_i}!}{(m{p}_{c_i})/2}$$

代码实现。

int jc(int x)//前半部分的阶乘
{
	int z=1;
	for(int i=2;i<=x;i++)
	{
		z*=i;
		z%=mod;
	}
	return z;
}
int jc1(int x)//后半部分的阶乘
{
	int z=1;
	for(int i=x/2+1;i<=x;i++)
	{
		z*=i;
		z%=mod;
	}
	return z;
}
int ou()//偶数求值
{
	int sum=1;
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		sum*=jc1(mp[c[i]]);
		sum%=mod;
	}
	sum=sum*jc(n/2)%mod;
	return sum;
}

当 mp[c[i]]为奇数时

跟上方原理相同，只需要去掉其中的一个值，再按照偶数的方法求出值就可以了。注意：中间的那个值是不定的，所以需要多乘一个 mp[c[i]]自身的值。

代码如下。

int ji()
{
	int sum=0;
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		if(mp[c[i]]&1)
		{
			mp[c[i]]--;
			sum+=(mp[c[i]]+1)*ou()%mod;//将mp[c[i]]转化为偶数后按照偶数的方法求值
			mp[c[i]]++;
		}
	}
	return sum;
}

万事俱备，一交代码。

只得了 $80$ 分。

原因则出在了奇数这里。

我们想想：如果你有两个字母的个数都是奇数，那你就根本没法构成回文串，此时的 $ans=0$。

所以，在计算之前，我们需要特判一下。

int sum=0;
for(int i=1;i<=m;i++)
{
	if(mp[c[i]]&1)
	{
		sum++;
	}
}
if(sum>1)
{
	ans=0;
}
else
{
	ans=ji();
}

完整代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int mod=1e9+7;
int n,m;
char c[2006];
map<char,int>mp;
int jc(int x)
{
	int z=1;
	for(int i=2;i<=x;i++)
	{
		z*=i;
		z%=mod;
	}
	return z;
}
int jc1(int x)
{
	int z=1;
	for(int i=x/2+1;i<=x;i++)
	{
		z*=i;
		z%=mod;
	}
	return z;
}
int ou()
{
	int sum=1;
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		sum*=jc1(mp[c[i]]);
		sum%=mod;
	}
	sum=sum*jc(n/2)%mod;
	return sum;
}
int ji()
{
	int sum=0;
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		if(mp[c[i]]&1)
		{
			mp[c[i]]--;
			sum+=(mp[c[i]]+1)*ou()%mod;
			mp[c[i]]++;
		}
	}
	return sum;
}
signed main()
{
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		cin>>c[i];
		mp[c[i]]++;
	}
	set<char>s;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		s.insert(c[i]);
	}
	m=s.size();
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		c[i]=(*s.begin());
		s.erase(s.begin());
	}
	bool flag=true;
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		if(mp[c[i]]&1)
		{
			flag=false;
		}
	}
	int ans;
	if(flag)
	{
		ans=ou();
	}
	else
	{
		int sum=0;
		for(int i=1;i<=m;i++)
		{
			if(mp[c[i]]&1)
			{
				sum++;
			}
		}
		if(sum>1)
		{
			ans=0;
		}
		else
		{
			ans=ji();
		}
	}
	int t=jc(n)-ans;
	cout<<(t<0?t+mod:t);
	return 0;
}

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