题解：P5684 [CSP-J2019 江西] 非回文串

传送门

一道很简单的数学题。。。

题目简化：给定一个字符串，通过交换顺序使它不是一个回文串。

看上去很简单，用一个大模拟就行了。

数据： $3\le n\le 2000$。

如果直接用模拟的话，时间复杂度就是 $O(n!)$，最坏情况下是 $2000!$。

注意看题目中的这几个字：交换顺序。这说明了这个字符串中的字符是不会改变的，而题目要求我们求有多少种情况使得这个字符串不是回文串。

与回文串相关，立马想到回文串的对称性！

所以第一步一定是先统计每个字符出现了多少次（这里建议用 map）。

for(int i=1;i<=n;i++)
{
   
   
	cin>>c[i];
	mp[c[i]]++;//用mp来统计个数
}

因为回文串具有对称性，所以我们只需要考虑一边，另一边跟这边也就一样了。

直接求非回文串的个数太麻烦，这里用了正难则反的思路：我们只需要求出有多少个回文串，再用总的个数减掉就是答案了。

总的个数很好求，就是 $n!$，那回文串的个数怎么求呢？

我们前面说过，考虑回文串只需要考虑一边就行了，所以说我们只需要将每种字符出现的次数 mp[c[i]]除以 $2$ 就可以了。由此，我们需要将 mp[c[i]]分成两类。

当 mp[c[i]]为偶数时

此时 mp[c[i]]可以直接被分成两部分，总的 $n$ 也一定是偶数。一边就有 $\frac{n}{2}$ 个字母，每个字母之间互相交换，一共有 $\frac{n}{2}!$ 种情况。

现在我们又对于每个字母进行讨论。

因为字母之间是可以两两交换的，总的方案也就有 $m{p}_{c_i}!$ 种但是同一边交换是没有用的啊，所以我们还要再这个基础上再去掉重复的，也就是同一边的搭配情况，算下来是 $(m{p}_{c_i}/2)!$。

把上面的公式合在一起，我们就得到了一个字母的排列情况，即。

$$(m{p}_{c_i}$$