伯特兰盒子悖论——颠覆你的常识系列二

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问题描述

现在有一个箱子，里面装着 $10$ 个球，有红球有绿球，我们并不知道这个箱子里有多少个红球、多少个绿球，现在我从箱子里摸出了一个红球，那么请问第二次摸到红球的概率大还是绿球的概率大？

解析

你可能感觉箱子里的红球变少了，摸到绿球的概率应该会比红球大一点吧。但实际上下次摸到绿球的概率仍然比红球小，而且小得多。

我们可以这么思考：因为我们一开始就摸出了一个红球，所以说这个箱子里应该有很多红球，而这个箱子里有很多红球恰恰说明了我们下次摸到红球的概率大。这就像是有个人坑了你，你不会觉得他今天坑了我以后就会少坑点我，恰恰相反，这说明他就是个坑人。（在线提醒：你们以后如果遇到了这样的人千万不要和他交朋友。）

那这个概率又是怎么算的呢？我们可以这样想，首先从红球和绿球之间分隔开：

然后我们拿走了其中一个红球，相当于把红球又分成了两份：

于是就成了一共 $9$ 个球分成 $3$ 份，其中 $2$ 份是红球，求抽到红球的概率。这一听就很像 $\frac{2}{3}$ 对吧？

如果你觉得这不科学，你可以用概率暴算（$N$ 表示总球数，是定值，$n$ 表示红球个数）：

$$\begin{array}{rl}P(\text{第二次抽到红球})& =\frac{P(\text{连续两次抽到红球})}{P(\text{第一次抽到红球})}\\ & =\frac{{\sum }_{n=1}^N\frac{1}{N+1}\times \frac{n\cdot (n-1)}{N\cdot (N-1)}}{{\sum }_{n=1}^N\frac{1}{N+1}\cdot \frac{n}{N}}\\ & =\frac{2}{3}\end{array}$$

如果你觉得数学太难了，也可以自己动手实操（俗话说得好：自己动手，丰衣足食。），答案也是 $\frac{2}{3}$。

如果你先自己动手太麻烦，也不妨写个 python 程序，答案还是 $\frac{2}{3}$。

而这还不是它最反直觉的地方，它最反直觉的地方在于它不管在红球有几个的情况下都一样，甚至只有两个红球时也是这个答案。所以下次在考试时看到前三题都选 A，这说明是第四题肯定不能选 A，还是出题老师很喜欢 A 呢？

本文灵感来源视频：前三道选择题都选A，第四道你敢选A吗？。