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区间特征值问题：求解Ax = λBx 在区间[λmin, λmax]的特征值。

直接法的基础是矩阵的分解，常见的分解形式有LU分解、Cholesky分解、LDL分解等。直接法通过将A矩阵分解成两个或多个因子的乘积，使得原方程组转化为若干个较容易求解的子问题。例如LU分解A=LU，其中L是单位下三角矩阵，U是上三角矩阵。原方程转化为LUx=b，可以通过依次求解Ly=b和Ux=y两个三角方程组来得到原方程的解。稀疏线性方程组的两类常见直接求解算法分别为方法和法，其主要思想是将完整的稀疏矩阵的分解任务转化成许多个相对稠密的子矩阵的分解任务。

通俗地说, 预处理就是将难以求解的问题转化成等价的容易求解的新问题对于线性方程组而言, 预处理就是对(病态) 系数矩阵进行适当的线性变换,转换为一个(良态) 新矩阵, 从而达到改善迭代法收敛性的目的.预处理子选取基本准则：一个好的预处理子P 通常需满足下面两个要求:(1)具有更小的条件数和(或) 更好的特征值分布;P是A的一个很好的近似。(2) 线性方程组Pz = r 容易求解, 即预处理子P 的使用成本低廉.▶ 第一条是为了确保预处理后的线性方程组更容易求解, 即预处理子有效。

本书是由Robert Robey和Yuliana Zamora合著的专业著作，不仅从基础概念讲起，逐步深入到高级主题，还涵盖了最新的并行计算技术，如多核处理器、GPU加速和分布式计算系统。通过案例分析和实际应用，本书使理论与实践相结合，详细介绍了。等行业内标准工具的使用，适合计算机科学与工程专业的学生、研究人员、开发者以及对高性能计算技术感兴趣的技术爱好者。，任职于美国洛斯阿拉莫斯国家实验室，30多年来一直活跃在并行计算领域。出版日期：2021年。

CAE中的非线性方程组求解主要依赖牛顿法（及牛顿法的变体），步骤如下。

CG方法第一次被用来解非线性优化问题，是由Fletcher和Reeves提出的。（英语：BiConjugate gradient method）提供了一种处理非对称矩阵情况的推广。共轭梯度法（英语：Conjugate gradient method），是求解系数矩阵为。共轭梯度法中，搜索方向p，是关于A共轭的，即。最后的解为 [1, 1]，f(x)最小值为0。其中delta为方向，beta为步长。共轭梯度法是一个迭代方法，它适用于。的线性方程组的数值解的方法。1. 求解线性方程组，首先安装自动微分工具。

解非线性方程（Nonlinear Equations）的技术在其动机、分析和算法实现方面与优化技术（Optimization）有重叠。

我们想寻找一个A的逼近：Ak，使得rank(Ak) = k < n，且|A - Ak|最小。下面的定理（也称为Schmidt-Mirsky, Eckart-Young定理。

注意，本文中正定和半正定矩阵不要求是对称或Hermite的。

Arnoldi向量转换为Schur向量，注意，只作用在新近收敛的向量和下一个初始向量上。注意上面两个算法的区别，Algorithm 2相比1唯一的不同是，循环是从k+1开始的，也就是只改变Vm和Hm的最后m-k列，即active部分。在下一次的arnoldi过程中，只有m-k个arnoldi向量被计算，也就是active vectors。，我们将这个R的子矩阵取出来记为Rk，对应的Q中的前k列取出来记为Qk，那么我们有。注意，S≡Range(Qk)是A的不变子空间，对应着k个特征值，

一、介绍这篇文章介绍一个ODE solver的实现，可用于一阶线性系统的求解。首先，找到一组ODE方程，可以从网上找算例，或者从comsol等软件中导出。其次，用matlab来求解，看计算结果。最后，自己实现一个ODE solver，并将结果与matlab的结果进行对比。...

一、应用背景Krylov子空间方法是模型降阶(MOR)的一种，Krylov 子空间方法就是在Krylov子空间中寻找近似解。二、Krylov子空间n是原始矩阵的维度，m为降阶后矩阵的维度，通常m<<n。三、Arnoldi 过程: 计算Km 的一组正交对应上述MGS过程的python代码：import numpy as npdef arnoldi_itera...

1. 简介We can classify an integration method by its stability and computational effort. The y-axis represents the stability and x-axis represents the computational effort.The backward euler is locate...

这一篇Blog是在A First course in FEM —— matlab代码实现求解传热问题(稳态)基础上更进一步，求解瞬态传热问题。两者的区别如下图所示：1. 问题描述求解下图图所示叶片的温度场在[0-1200s]时间段内的变化，初始条件：T(0)=25℃。控制方程为：2. 模型和网格模型和网格设置详见A First course in FEM —— matlab代码...

一、似然在统计学中，似然性(likelihood)”和“概率”有明确的区分：概率，用于在已知一些参数的情况下，预测接下来在观测上所得到的结果；似然性，则是用于在已知某些观测所得到的结果时，对有关事物之性质的参数进行估值。以高斯分布为例，其可以用参数μ和σ来描述。采样和参数估计是互逆的过程，从分布中采样是已知一些参数，得到观测结果，结果出现的可能性就用“概率”来表示。而在已知猜测结果时，对...

一、 Poisson方程可转换为线性弱形式其中，u: trial function 是近似解v: test function 是Poisson方程两边同乘的函数，用于转换为弱形式。在Fenics中解PDE时，必须进行下面几个步骤：1、将PDE问题转换成离散变分问题：即寻找u∈V，使得2、选择V和V_hat空间，换句话说就是确定网格和有限元单元的类型。3、定义Inp...

这篇文章会将FEM全流程走一遍，包括网格、矩阵组装、求解、后处理。内容是大三时的大作业，今天拿出来回顾下。1. 问题简介涡轮机叶片需要冷却以提高涡轮的性能和涡轮叶片的寿命。我们现在考虑一个如上图所示的叶片，叶片处在一个高温环境中，中间通有四个冷却孔。假设为稳态，那么叶片内导热微分方程为：内部区域： (扩散方程)边界：(外表面)(内部冷却孔)2.模型2.1几何模型...

前言最优化广泛应用于科学与工程计算、数据科学、机器学习、人工智能、图像和信号处理、金融和经济、管理科学等众多领域。最优化问题可以归纳为如下定义：最优化问题一般很难求解，除了一些特例。目前已经发展成熟的，能够有效求解的最优化问题可以归为以下三类：最小二乘问题 least-squares problems线性规划问题linear programming problems凸优化问题...