A First course in FEM —— matlab代码实现求解传热问题（稳态）

这篇文章会将FEM全流程走一遍，包括网格、矩阵组装、求解、后处理。内容是大三时的大作业，今天拿出来回顾下。

1. 问题简介

 

涡轮机叶片需要冷却以提高涡轮的性能和涡轮叶片的寿命。我们现在考虑一个如上图所示的叶片，叶片处在一个高温环境中，中间通有四个冷却孔。

假设为稳态，那么叶片内导热微分方程为：

内部区域：     (扩散方程)

边界：

(外表面)

(内部冷却孔)

2.模型

2.1几何模型

  我们简化为二维模型，如下图所示：

 

点坐标：

1:0.0,0.0          6:597.6,45.9   11:344.7,50.0         

2:20.9,28.8      7:870.0,0.0      12:435.8,44.5

3:117.4,62.9   8:85.0,40.0      13:521.2,37.0

4:240.4,69.6   9:174.5,49.4   14:605.0,30.0

5:417.5,62.4   10:260.0,50.0 15:694.7,22.2

2.2 单位系统和物性

长度单位：mm

温度单位： K

功率单位：W

k=14.7*10^-3 W/mm. K

h_ext=205.8*10^-6 W/m².K

h_int=65.8*10^-6 W/m².K

注意：在后面的矩阵组装中的h_wall = h / k

2.3网格

 用开源软件Gmsh生成网格。

首先写geo文件

注意要把外表面和中间空洞用Physical Line定义

lc = 10;  
Point(1) = {
    
    0, 0, 0, lc};
Point(2) = {
    
    20.9,28.8,0, lc};
Point(3) = {
    
    117.4,62.9,0, lc};
Point(4) = {
    
    240.4,69.6,0, lc};
Point(5) =  {
    
    417.5,62.4,0, lc};
Point(6) = {
    
    597.6,45.9,0, lc};
Point(7) = {
    
    870.0,0.0, 0,lc};
Point(8) = {
    
    85.0,40.0, 0,lc};
Point(9) = {
    
    174.5,49.4,0, lc};
Point(10) = {
    
    260.0,50.0,0, lc};
Point(11) = {
    
    344.7,50.0,0, lc};
Point(12) = {
    
    435.8,44.5,0, lc};
Point(13) = {
    
    521.2,37.0,0, lc};
Point(14) = {
    
    605.0,30.0,0, lc};
Point(15) = {
    
    694.7,22.2,0, lc};

//+
Spline(1) = {
    
    1, 2, 3, 4, 5, 6, 7};
//+
Symmetry {
    
    0, 1, 0, 0} {
  Duplicata { Point{
    
    1}; Point{
    
    2}; Point{
    
    3}; Point{
    
    4}; Point{
    
    5}; Line{
    
    1}; Point{
    
    6}; Point{
    
    7}; Point{
    
    8}; Point{