非线性系列（一）—— 非线性方程组求解与优化的关系 Nonlinear & Optimization

原创 已于 2024-07-10 17:33:49 修改 · 1k 阅读 · 8 ·
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#算法 #机器学习 #人工智能 #优化问题

于 2024-04-08 21:10:45 首次发布
本文探讨了牛顿法在解决非线性方程和优化问题中的共通之处，如线搜索和信赖域技术，同时强调了两者在导数需求和二次收敛方面的区别，指出凸优化中二阶泰勒展开的重要性。

解非线性方程（Nonlinear Equations）的技术在其动机、分析和算法实现方面与优化技术（Optimization）有重叠。

1. 相似点：

在优化和非线性方程中，牛顿法是许多重要算法的核心。诸如线搜索、信赖域和每次迭代中线性代数子问题的不精确解决方案等特征在两个领域中都很重要，还有其他问题，如导数评估和全局收敛。

诸如线搜索、信赖域和解决线性代数子问题等技术在解非线性方程和优化中起着至关重要的作用。这些方法有助于提高收敛速度、稳定性和效率。

非线性方程中的牛顿法

解 r(x) = 0

采用了线性模型M_k(p)，在r(x_k + p)的Taylor展开中，只取了前两项（即进行一阶泰勒展开）。

r(x_k + p) = M_k(p) = r(x_k) + J(x_k)p

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