HDU 2571 命运

传送门

类似数塔问题，其实就是一个网格，每个点都有个值，求从左上走到右下的最大和。从当前位置可到的位置都是在右下方的。

和HDU 1978这种题区别不大。虽然那个题是求路径条数，这个题是求路径最大和。但相同之处在于都是这样的网格dp，且每次行走过程都是这样单向（离终点越来越近）且不重复（一条路径上不会有重复点，必然是简单路）的，都蕴含了记忆化搜索的思想（对重叠子问题不必反复处理）。

总结一下这种题的做法。至少可以有四种做法。首先dp数组可以有两种表示方式，同样是dp[i][j]，一种表示从起点到当前点的子问题，一种表示当前点到终点的子问题。对于每种表示，可以采取递推（for循环）和递归（dfs）两种写法。

1. 表示起点到当前点的子问题，采用递推。这样写的话可以从起点开始正序循环，但是每个点要用到路径上前驱点的状态值。所以需要将题目中的条件反过来（考虑哪些点可以走到当前点）。
2. 表示起点到当前点的子问题，采用递归。这样直接调用dfs(N,M)。递归的好处在于不用担心上一个状态有没有被计算，不用设计循环次序。但是一定要显式写出来记忆化搜索。
3. 表示当前点到终点的子问题，采用递推。这样写的话要从终点开始逆序循环。
4. 表示当前点到终点的子问题，采用递归。这样直接调用dfs(1,1)。

我写了第一种和第四种的代码。

第一种

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <cstring>
#include <string>
#include <queue>
using namespace std;

const int INF = 1e9;
int N, M, T;
int a[21][1001];
int sum[21][1001];                           // 可以有两种表示方式，这份代码表示从起点走到当前点的最大分数

void init()                                  // 边界初始化决定成败
{
	for (int i = 2; i <= N; i++)
		sum[i][0] = -INF;                    // 这些状态都是不合法的，又因为输入有负数，所以 -INF
	for (int i = 2; i <= M; i++)
		sum[0][i] = -INF;

	sum[0][1] = sum[1][0] = 0;               // 这个状态是初始化sum[1][1]用的，仅此一处（仅sum[1][1]会用到）
}

int main()
{
	scanf("%d", &T);
	for (; T--;)
	{
		scanf("%d%d", &N, &M);
		init();
		for (int i = 1; i <= N; i++)
			for (int j = 1; j <= M; j++)
				scanf("%d", &a[i][j]);

		for (int i = 1; i <= N; i++)
		{
			for (int j = 1; j <= M; j++)
			{
				sum[i][j] = a[i][j];
				int t = max(sum[i - 1][j], sum[i][j - 1]);
				for (int k = 1; k <= j / 2; k++)                 // 寻找当前列j的所有因子（不包括自己）
					if (j % k == 0) t = max(t, sum[i][k]);
				sum[i][j] += t;
			}
		}
		printf("%d\n", sum[N][M]);
	}

	return 0;
}

第四种

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <cstring>
#include <string>
#include <queue>
using namespace std;

const int INF = 1e9;
int N, M, T;
int a[21][1001];
int sum[21][1001];

void init()
{
	for (int i = 1; i <= N; i++)
		for (int j = 1; j <= M; j++)
			sum[i][j] = -INF;
}

int dfs(int x, int y)
{
	if (x == N && y == M) return a[x][y];
	if (sum[x][y] != -INF) return sum[x][y];

	int t = -INF; // 这里如果没有赋初值就WA了，就这么刺激。因为下一行不一定会执行，这样t在内存中会有一个不可预测的值，很有可能是一个超大数。
	if (x + 1 <= N) t = dfs(x + 1, y);
	if (y + 1 <= M) t = max(t, dfs(x, y + 1));
	for (int i = 2; i*y <= M; i++)
	{
		t = max(t, dfs(x, i*y));
	}
	return sum[x][y] = t + a[x][y];
}

int main()
{
	scanf("%d", &T);
	for (; T--;)
	{
		scanf("%d%d", &N, &M);
		init();
		for (int i = 1; i <= N; i++)
			for (int j = 1; j <= M; j++)
				scanf("%d", &a[i][j]);

		printf("%d\n", dfs(1, 1));
	}

	return 0;
}