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最新推荐文章于 2020-08-11 10:54:21 发布

Crossing over

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分类专栏：动态规划

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本文深入解析多重背包问题的解决策略，通过将物品数量二进制化来提高算法效率，从O(n)提升至O(logn)，并介绍了如何将无限数量物品转化为完全背包问题处理。附带C++代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

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多重背包。
一道带有历史的题啊，沉重的回忆。

多重背包的处理关键就是将每种物品的可取个数二进制化，比如一种物品最多取7件，那么就可以转化为3件物品（其中每件物品相当于1,2,4件单位物品），这样包含了取原先物品的任何一种情况（0~7件），并且在求解效率上优于转化为7件相同物品（本质是从O(n)到O(log n)的提升）。

以上这个方法务必掌握，除此之外，如果只取一种物品都能装满背包（或者更多），那么这种物品相当于没有上限了（完全背包），不用再转化了。


#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <cstring>
#include <string>
using namespace std;                           // 多重背包

const int MAX = 101;
int T, N, V;
int p[MAX];
int w[MAX];
int c[MAX];
int dp[101];
vector<int> t;

void init()
{
	memset(dp, 0, sizeof dp);
}

int main()
{
	scanf("%d", &T);
	for (; T--;)
	{
		scanf("%d%d", &V, &N);
		init();
		for (int i = 1; i <= N; i++)
			scanf("%d%d%d", &w[i], &p[i], &c[i]);

		for (int i = 1; i <= N; i++)
		{
			if (c[i] * w[i] >= V)                           // 直接调用完全背包
			{
				for (int j = w[i]; j <= V; j++)
				{
					dp[j] = max(dp[j], dp[j - w[i]] + p[i]);
				}
			}
			else
			{
				t.clear();
				for (int k = 1; k < c[i]; k <<= 1)          // 二进制处理，分成多个01背包
				{
					t.push_back(k);
					c[i] -= k;
				}
				t.push_back(c[i]);

				for (int k = 0; k < t.size(); k++)
				{
					for (int j = V; j >= w[i] * t[k]; j--)
					{
						dp[j] = max(dp[j], dp[j - w[i] * t[k]] + p[i] * t[k]);
					}
				}
			}
		}
		printf("%d\n", dp[V]);
	}

	return 0;
}