PAT A1007 Maximum Subsequence Sum(25)

题意

• 给定K个数的序列，求其最大子串和（一般来说，子串表示必须连续，而子序列表示可以不连续），并输出最大子串的首尾元素（不是下标）。

注意

1. 以下标i为尾的最大子串的选择只有两种
   1. 本身（元素a[i]本身）
   2. 下标i-1为尾的最大子串（若存在）加上本身。
2. 如何证明？其实就是最优性原理。首先子串必然是连续的，设以下标i-1为尾的最大子串为s0，以下标i为尾的最大子串为s，s为何不能选择s0的一部分或是s0加上更前面的？
   1. s若是选择s0的一部分，那么说明没有选择的一部分是负数，那么s0也不该选这部分，与假设矛盾。
   2. s若是选择s0以及更多，那么说明选择的更多的比只选择s0更大，那么s0也该选这部分，与假设矛盾。
   3. 然而，s0若是负数，那么s就不该选s0
3. 所以，首先s一定包括a[i]；其次，要么包括s0全部，要么不包括任何。
4. 整个序列的最大子串必定以某一元素为尾，那么它就是所有以某元素为尾的最大子串中最大的那个。
5. 这题还有个问题，如下，我理解的是，和相同情况下，首先选择i小，若i一样，选择j小的。这就意味着最大子串前面的0也算上（若有），而最大子串后面的0不算（若有）。（有点无聊233）

In case that the maximum subsequence is not unique, output the one with the smallest indices i and j (as shown by the sample case).

单词

1. indice 下标

代码

#include<iostream>
using namespace std;

const int maxi = 10000;
int a[maxi];
int p[maxi];
int sum[maxi];

int main()
{
	int n;
	scanf_s("%d",&n);
	for (int i = 0; i < n; i++)
		scanf_s("%d", &a[i]);
	for (int i = 0; i < n; i++)
	{
		if (a[i] >= 0)
			break;
		if (i == n - 1)
		{
			printf("0 %d %d", a[0], a[i]);
			return 0;
		}
	}

	p[0] = 0;
	sum[0] = a[0];
	for (int i = 1; i < n; i++)
	{
		if (sum[i - 1] + a[i] >= a[i])                 //// >= 尽力扩展更多的前0，使得首结点下标最小
		{
			p[i] = p[i - 1];
			sum[i] = sum[i - 1] + a[i];
		}
		else
		{
			p[i] = i;
			sum[i] = a[i];
		}
	}

	int m = sum[0];
	int k = 0;
	for (int i = 1; i < n; i++)
	{
		if (sum[i] > m)                                //// > 后0不需要，更不需要之后的相等的最大子序列，使得尾结点下标最小
		{
			m = sum[i];
			k = i;
		}
	}
	printf("%d %d %d", m, a[p[k]], a[k]);

    return 0;
}