【02矩阵消元】

最新推荐文章于 2025-11-25 10:45:17 发布

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#矩阵 #线性代数 #numpy

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本文详细解析了通过矩阵消元法解决线性方程组的过程，包括构建系数矩阵、消元步骤、求解未知数等内容，并介绍了初等矩阵、单位矩阵、置换矩阵的概念及其应用。

首先给出我们要求解的方程组： ${x+2y+z=23x+8y+z=124y+z=2\left\{ \begin{array}{rcl} x+2y+z&=2 \\ 3x+8y+z&=12 \\ 4y+z&=2 \end{array} \right.$

那么我们可以得到其系数矩阵 $A$ ： $A=[121381041]A=\left[ {\begin{array}{cc} 1\quad2\quad1\\ 3\quad8\quad1\\ 0\quad4\quad1\\ \end{array} } \right]$
以及解向量 $b$ ： $b=[2122]b=\left[ {\begin{array}{cc} 2\\ 12\\ 2 \end{array} } \right]$
对于常规的消元法，我们从小学开始解二元方程组就开始使用，下面重点讲解矩阵消元法，即用矩阵语言描述消元法

此时我们的目标变成了求解 $AX=bA\textbf X=b$ ，其中 $X$ 是未知数向量

对于系数矩阵 $A$ ，我们对其进行消元，其中 $A$ 的每列都代表一个未知数的系数，我们消元的思想是对于每一行对比与上一行都要减少一个未知数，（即未知数的系数为0）

首先我们固定第一行，让第二行的 $x$ 对应的系数为0，我们的做法可以是让第二行减去3倍的第一行，我们可以得到： $[12102−2041]\left[ {\begin{array}{cc} 1\quad2\quad1\\ 0\quad2-2\\ 0\quad4\quad1\\ \end{array} } \right]$
然后我们固定第二行，让第三行的 $y$ 对应的系数为0，让第三行减去2倍的第二行，可以得到： $[12102−2005]\left[ {\begin{array}{cc} 1\quad2\quad1\\ 0\quad2-2\\ 0\quad0\quad5\\ \end{array} } \right]$
我们称上面的矩阵为 $U$ ，他是个上三角矩阵，我们称对角线上的元素为主元，其不能为0，否则我们的消元就没有了意义

此时我们只考虑了系数矩阵 $A$ ，但是如果我们把 $b$ 也加进去，形成一个新的矩阵，我们称其为增广矩阵，那么在 $A$ 进行线性变换的同时， $b$ 也应该随之变化，我们可以得到： $[121202−26005−10]\left[ {\begin{array}{cc} 1\quad2\quad1\quad2\\ 0\quad2-2\quad6\\ 0\quad0\quad5-10\\ \end{array} } \right]$

我们将变化后的 $b$ 记作 $c$

此时我们经过回代可以得到 $UX=cU\textbf X=c$ ： ${x+2y+z=22y−2z=65z=−10\left\{ \begin{array}{rcl} x+2y+z&=2 \\ 2y-2z&=6 \\ 5z&\quad=-10 \end{array} \right.$

因此我们可以轻易的求解得： ${x=2y=1z=−2\left\{ \begin{array}{rcl} x&=2 \\ y&=1 \\ z&\quad=-2 \end{array} \right.$

之前有提到过矩阵与列向量相乘可以看做是对矩阵各列的线性组合： $[121381041][2122]=2[130]+12[284]+2[111]\left[ {\begin{array}{cc} 1\quad2\quad1\\ 3\quad8\quad1\\ 0\quad4\quad1\\ \end{array} } \right]\left[ {\begin{array}{cc} 2\\ 12\\ 2 \end{array} } \right]=2\left[ {\begin{array}{cc} 1\\ 3\\ 0 \end{array} } \right]+12\left[ {\begin{array}{cc} 2\\ 8\\ 4 \end{array} } \right]+2\left[ {\begin{array}{cc} 1\\ 1\\ 1 \end{array} } \right]$

如果是行向量与矩阵相乘呢？比如： $[2122][121381041]\left[ {\begin{array}{cc} 2\quad12\quad2 \end{array} } \right]\left[ {\begin{array}{cc} 1\quad2\quad1\\ 3\quad8\quad1\\ 0\quad4\quad1\\ \end{array} } \right]$
我们仍然可以看做是对矩阵各行的线性变换： $[2122][121381041]=2[121]+12[381]+2[041]\left[ {\begin{array}{cc} 2\quad12\quad2 \end{array} } \right]\left[ {\begin{array}{cc} 1\quad2\quad1\\ 3\quad8\quad1\\ 0\quad4\quad1\\ \end{array} } \right]=2\left[ {\begin{array}{cc} 1\quad2\quad1 \end{array} } \right]+12\left[ {\begin{array}{cc} 3\quad8\quad1 \end{array} } \right]+2\left[ {\begin{array}{cc} 0\quad4\quad1 \end{array} } \right]$

下面看如何从矩阵的角度理解消元法

我们做的第一次变换为行1、行3不变，行2减去三倍的行1，我们假设变换后的矩阵是由一个矩阵乘原始矩阵得到的即： $[x11x12x13x21x22x23x31x32x33][121381041]=[12102−2041]\left[ {\begin{array}{cc} x_{11}\quad x_{12}\quad x_{13}\\ x_{21}\quad x_{22}\quad x_{23}\\ x_{31}\quad x_{32}\quad x_{33}\\ \end{array} } \right]\left[ {\begin{array}{cc} 1\quad2\quad1\\ 3\quad8\quad1\\ 0\quad4\quad1\\ \end{array} } \right]=\left[ {\begin{array}{cc} 1\quad2\quad1\\ 0\quad2-2\\ 0\quad4\quad1\\ \end{array} } \right]$
- 至于变换后矩阵的第一行我们可以看作是 $[x11x12x13]\left[ {\begin{array}{cc} x_{11}\quad x_{12}\quad x_{13} \end{array} } \right]$ 对原始矩阵进行线性变换得到的，其仍等于第一行，我们可以轻易的解得 $[100][1\quad0\quad0]$ ，同理我们可以解得第三行为 $[001][0\quad0\quad1]$
第二行是行2减去三倍的行一，因此我们可以得到第二行为 $[−310][-3\quad1\quad0]$
由此可以得到未知数矩阵为： $[100−310001]\left[ {\begin{array}{cc} 1\quad0\quad0\\ -3\quad1\quad0\\ 0\quad0\quad1\\ \end{array} } \right]$
我们称其为初等矩阵，记作 $E_{21}$ 来表示其让2行1列位置元素变为0的目的
接下来我们可以求得 $E31=[100010001]E_{31}=\left[ {\begin{array}{cc} 1\quad0\quad0\\ 0\quad1\quad0\\ 0\quad0\quad1\\ \end{array} } \right]$
我们称这种矩阵为单位矩阵，相当于数字中的1，任何矩阵与它相乘都等于其本身
进而求得 $E32=[1000100−21]E_{32}=\left[ {\begin{array}{cc} 1\quad0\quad0\\ 0\quad1\quad0\\ 0-2\quad1\\ \end{array} } \right]$

整体来看我们可以得到： $E_{32}(E_{31}(E_{21}A))=U$
那么是否存在一个矩阵，其与 $A$ 相乘可以直接得到 $U$

矩阵的乘法虽然不可以改变位置，但是可以改变先后顺序，因此我们可以得到： $E_{32}E_{31}E_{21})A=U$
即三个初等变换矩阵的乘积就是我们想要得到的矩阵 $E$

置换矩阵

如果我们想要交换一个矩阵的两行，就需要使用置换矩阵，我们常常称其为 $P$ ，例如： $[0110][abcd]=[cdab]\left[ {\begin{array}{cc} 0\quad 1\\ 1\quad 0 \end{array} } \right]\left[ {\begin{array}{cc} a\quad b\\ c\quad d \end{array} } \right]= \left[ {\begin{array}{cc} c\quad d\\ a\quad b \end{array} } \right]$
但是如果我们想交换矩阵的两列呢？我们只需要右乘一个P即可： $[abcd][0110]=[badc]\left[ {\begin{array}{cc} a\quad b\\ c\quad d \end{array} } \right]\left[ {\begin{array}{cc} 0\quad 1\\ 1\quad 0 \end{array} } \right]= \left[ {\begin{array}{cc} b\quad a\\ d\quad c \end{array} } \right]$

由此我们可以得到，如果想要对一个矩阵的行进行变换，我们对其左乘初等矩阵或转置矩阵即可；如果想要对一个矩阵的列进行变换，我们对其右乘初等矩阵或转置矩阵即可。

同时可以得到矩阵满足结合律，而不满足交换律

简单引出逆矩阵

前面有提到第一步的初等变 $E21=[100−310001]E_{21}=\left[ {\begin{array}{cc} 1\quad0\quad0\\ -3\quad1\quad0\\ 0\quad0\quad1\\ \end{array} } \right]$
但如果现在我们想取消这一步骤，让变换后的矩阵变为原来的矩阵 $E_{21}A=U$
那么我们主需要找到一个矩阵 $E^{-1}$ ，使得 $E^{-1}E_{21}=I$ 即可，其中 $I$ 为单位矩阵（因为单位矩阵乘任何矩阵都等于其本身）
我们称 $E^{-1}$ 为 $E_{21}$ 的逆矩阵，因为其操作跟原始矩阵是相逆的，之前我们是1、3行不变，第二行减去三倍的第一行，因此我们只需要将第二行加回来即可： $E−1=[100310001]E^{-1}=\left[ {\begin{array}{cc} 1\quad0\quad0\\ 3\quad1\quad0\\ 0\quad0\quad1\\ \end{array} } \right]$